Дана функция f(x) где f(x)=x в -3 степени. Найдите все значения х при которых выполняется неравенство х в квадрате/f(x)>64*f(1/x)

Требуется решить неравенство

$frac{x^2}{f(x)} > 64 cdot f(frac{1}{x})$

для функции, заданной как $f(u) = u^{-3}$ .

В таком случае имеем

$frac{1}{f(x)} = frac{1}{x^{-3}} = x^3$

$fleft(frac{1}{x}right) = left(frac{1}{x}right)^{-3} = x^3$

Упрощаем неравенство

$frac{x^2}{f(x)} > 64 cdot f(frac{1}{x}) ; Leftrightarrow ; {x}^2 cdot {x}^3 > 64 cdot x^3$

${x}^5 - 64 cdot x^3 > 0$

${x}^3 left(x^2 - 64right) > 0$

${x}^3 left(x - 8right)left(x + 8right) > 0$

Имеем интервалы знакопостоянства:

$left(-infty;: -8right)$ , где ${x}^3 left(x - 8right)left(x + 8right) < 0$ (чтобы узнать, что на этом интервале <0 или, наоборот, >0, можно подставить любое значение $x < -8$ , например, -10)

$left(-8;: 0right)$ , где ${x}^3 left(x - 8right)left(x + 8right) > 0$

$left(0;: 8right)$ , где ${x}^3 left(x - 8right)left(x + 8right) < 0$

$left(8;: +inftyright)$ , где ${x}^3 left(x - 8right)left(x + 8right) > 0$

Ответ: при $-8 < x < 0$ и $x > 8$ .

Условная запись ответа объединением множеств: $x in (-8;;0) cup (+8; +infty)$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы

Предметы

Показать ещё