Найдите все значения параметра а, при каждом из которых следующая система уравнений имеет хотя бы одно решение.

Отнимаем одно уравнение от другого $4x^2+12xy+9y^2+10x+15y-4ax-6ay+a^2-2a=0 (2x+3y)^2+5(2x+3y)-2a(2x+3y)+a^2-2a=0 (2x+3y)^2+(2x+3y)(5-2a)+a^2-2a=0 2x+3y=b b^2+(5-2a)b+a^2-2a=0$ Получили квадратное уравнение $b^2+(5-2a)b+a^2-2a=0 D geq 0 D=(5-2a)^2-4*(a^2-2a) geq 0 a in (-infty; frac{25}{2}]$
Рассмотрим любую из прямых $2x+3y = frac{2a-5+/-sqrt{25-12a}}{2}$ вторую можно не рассматривать , так как они симметричны относительно друг - друга $left { {{2x+3y = frac{2a-5+sqrt{25-12a}}{2}} atop {9x^2-6xy+y^2+6x-13y+3=0}} right.$ выразив со второе и с первой $y$ $y=0.5*(6x-sqrt{132x+157}+13) y=frac{2a-5+sqrt{25-12a}}{3}-frac{2x}{3}$ первое , уравнение параболы , которая $y textgreater 0$ , второе уравнение прямой , то есть необходимое условие для первой пары системы равенств , такое нужно чтобы , прямая была касательная к параболе
$y=0.5*(6x-sqrt{132x+157}+13) y=frac{2a-5+sqrt{25-12a}}{3}-frac{2x}{3} y= 3 -frac{33}{ sqrt{132x+157}} 3-frac{33}{ sqrt{132x+157}} = -frac{2}{3} x=-frac{19}{33} y=frac{3}{11}$
подставляя найденные значения в $y=frac{2a-5+sqrt{25-12a}}{2} * frac{1}{3}-frac{2x}{3} x=-frac{19}{33} y=frac{3}{11}$
Получаем $a=frac{2-3sqrt{2}}{3}$ $; a=frac{3sqrt{2}+2}{3}$ , значит все решения идут между этими числами .
2.Теперь со вторым , это фигура второго порядка Эллипс , так как мы выяснили что $a leq 12.5$ , значит для данной фигуры, при любых значениях выше сказанная прямая будет пересекать.

$a in [frac{2-3sqrt{2}}{3}; frac{2+3sqrt{2}}{3}]$