Помогите,пожалуйста,решить два примера.Буду благодарен.
С подробным описанием хода решения,пожалуйста.
Вычислить неопределенный интеграл:
1. $intlimits frac{ e^{x} , dx}{ sqrt{2+ e^{x} } }$
2. $intlimits frac{ (x+1) , dx}{ sqrt{ x^{2} +x+ 1 } }$

Для начала нужно вспомнить что такое дифференциал. Дифференциал от одной переменной, это тоже самое что и производная по этой переменной умноженная на dx. $d(f(x))=(f(x))_xdx$

$intfrac{e^xdx}{sqrt{2+e^x}}=[d(2+e^x)=e^xdxrightarrow dx=frac{d(2+e^x)}{e^x}]==intfrac{e^x}{sqrt{2+e^x}}*frac{d(2+e^x)}{e^x}=int(2+e^x)}^{-frac{1}{2}}d(2+e^x})==frac{(2+e^x)^{-frac{1}{2}+1}}{-frac{1}{2}+1}+C=2sqrt{2+e^x}+C$

$intfrac{x+1}{sqrt{x^2+x+1}}dx=intfrac{2(x+1)}{2sqrt{x^2+x+1}}=frac{1}{2}int(frac{2x+1}{sqrt{x^2+x+1}}+frac{1}{sqrt{x^2+x+1}})dx==frac{1}{2}intfrac{2x+1}{sqrt{x^2+x+1}}dx+frac{1}{2}intfrac{1}{sqrt{x^2+x+1}}dx$
Посчитаем интегралы отдельно.

$frac{1}{2}intfrac{2x+1}{sqrt{x^2+x+1}}=[d(x^2+x+1)=(2x+1)dxrightarrow dx=frac{d(x^2+x+1)}{2x+1}]==frac{1}{2}intfrac{2x+1}{sqrt{x^2+x+1}}*frac{d(x^2+x+1)}{2x+1}=frac{1}{2}int (x^2+x+1)^{-frac{1}{2}}d(x^2+x+1)==frac{1}{2}*frac{(x^2+x+1)^{-frac{1}{2}+1}}{-frac{1}{2}+1}+C=sqrt{x^2+x+1}+C$

Для этого интеграла вспомним такую формулу:
$intfrac{dx}{sqrt{x^2+a^2}}=ln|x+sqrt{x^2+a^2}|+C$
Я уже не помню как она выводится, поэтому тут вывести не смогу.
Итак приведём наш интеграл к такому виду.
$frac{1}{2}intfrac{dx}{sqrt{x^2+x+1}}=frac{1}{2}intfrac{dx}{sqrt{x^2+x+frac{1}{4}+frac{3}{4}}}=frac{1}{2}intfrac{dx}{sqrt{(x+frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2}}==[d(x+frac{1}{2})=dx]=frac{1}{2}intfrac{d(x+frac{1}{2})}{sqrt{(x+frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2}}==frac{1}{2}*ln|x+frac{1}{2}+sqrt{(x+frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2}|+C==frac{1}{2}ln|x+frac{1}{2}+sqrt{x^2+x+1}|+C$

В итоге получаем интеграл:
$...=frac{1}{2}intfrac{2x+1}{sqrt{x^2+x+1}}dx+frac{1}{2}intfrac{1}{sqrt{x^2+x+1}}dx==sqrt{x^2+x+1}+frac{1}{2}ln|x+frac{1}{2}+sqrt{x^2+x+1}|+C$