Решите уравнение:
$7( x+frac{1}{x} )-2( x^2+frac{1}{x^2} )=9$
Источник: Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа, М., 1990, с. 106
... если не затруднительно, то поподробней...

Замена: $x+ frac{1}{x} = t$
Тогда $x^{2} + frac{1}{ x^{2} }=(x+ frac{1}{x} )^{2}-2=t^{2}-2$
Получаем: 7t - 2·(t²-2) = 9
7t - 2t² + 4 = 9
2t² - 7t + 5 = 0
D = 49 - 40 = 9
t₁ = $frac{7-3}{4}=1$
t₂ = $frac{7+3}{4}=frac{5}{2}$
$left { {{x+ frac{1}{x} = 1} atop {x+ frac{1}{x} = frac{5}{2}} right.$
Из первого уравнения: х ∈ пустому множеству, так как $x+ frac{1}{x}$ ≥ 2.
Из второго уравнения: х₁ = 2, х₂ = $frac{1}{2}$ .
Ответ: х₁ = 2, х₂ = $frac{1}{2}$ .