Решите уравнения sinx+cosx+sin2x=1

Sinx + cos x + sin2x = 1
sin x + cos x + 2sinx cosx -1=0
sin x + cos x +2sinx cosx -(sin²x+cos²x)=0
(sin x + cos x) + 2sinx cos x - (sin²x+cos²x+2sinx cosx -2sinx cos x)=0
(sin x+ cos x)+2sinx cosx - (sin x + cos x)² +2sinx cosx=0
(sin x + cos x)² + (sinx + cosx)+4sinxcosx=0
Пусть sin x + cos x = t причем (-√2 ≤ t ≤ √2), тогда возведем оба части до квадрата, имеем
(sin x + cos x)² = t²
1+2sinx cosx = t²
2sinxcosx = t²-1

Заменяем

t²+t+2*(t²-1)=0
t²+t+2t²-2=0
3t²+t-2=0
D=1+24 = 25
t1=(-1+5)/6=2/3
t2=(-1-5)/6 = -1

Возвращаем к замене
$sin x+cos =-1 sqrt{2} sin(x+ frac{pi}{4} )=-1 sin(x+ frac{pi}{4} )=- frac{1}{ sqrt{2} } x+ frac{pi}{4}=(-1)^{n+1} frac{pi}{4}+ pi n,n in Z x=(-1)^{n+1} frac{pi}{4}- frac{pi}{4}+ pi n,n in Z$

$sin x+cos x= frac{2}{3} sqrt{2} sin(x+ frac{pi}{4})= frac{2}{3} sin (x+ frac{pi}{4})= frac{ sqrt{2} }{3} x=(-1)^narcsin( frac{ sqrt{2} }{3} )- frac{pi}{4}+ pi n,n in Z$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы