Дифференциальное уравнение помогите решить,пожалуйста.
(y)^2+2yy+1=0

В уравнении явно отсутствует $x$ . Понизим порядок:
$y = p(y) y = (p(y)) = p(y) * y = pp y = (y) = (pp) = (p)p + (p)^2 = p * p * p + (p)^2 * p = pp^2 + (p)^2p$ (1)
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид:
$(pp)^2 + 2p(pp^2 + (p)^2p) + 1 = 0 (p)^2p^2 + 2p^2(pp + (p)^2) + 1 = 0$ .
Разделим уравнение на $p^2$ ( $p neq 0$ , в противном случае мы бы имели уравнение $C^2 + 1 = 0$ , нерешаемое в действительных числах):
$(p)^2 + 2(pp + (p)^2) + frac{1}{p^2} = 0 3(p)^2 + 2pp + frac{1}{p^2} = 0$ .
Полученное уравнение явно не содержит $y$ . Сделаем замену $p = u(p) Rightarrow p = uu$ . Тогда:
$3u^2 + 2uup + frac{1}{p^2} = 0$ , или, полагая $u^2 = z$ ,
$3z + pz = -frac{1}{p^2}$ .
Получили линейное неоднородное уравнение 1-ого порядка. Решая его (оставляю это на вас), находим $z = frac{C_1}{p^3} - frac{1}{p^2} Leftrightarrow (p)^2 = frac{C_1}{p^3} - frac{1}{p^2} Leftrightarrow p = pm sqrt{frac{C_1}{p^3} - frac{1}{p^2}}$
Разделяем переменные и интегрируем:
$pm int frac{psqrt{p}dp}{sqrt{C_1-p}} = y + C_2$ (2)
Находим интеграл в левой части (это тоже на вас):
$pm (frac{3}{4}C_1^2arctg frac{sqrt{p}}{sqrt{C_1-p}} - frac{1}{4} sqrt{p}sqrt{C_1-p}(3C_1+2p)) + C_2 = y$ (1)
Из (1) и (2) имеем:
$p = frac{dy}{dx} Rightarrow dx = frac{dy}{p} = pm frac{psqrt{p}dp}{sqrt{C_1-p}}$ , отсюда, находя интеграл в правой части, находим $x = pm (C_1arctg frac{sqrt{p}}{sqrt{C_1-p}} - sqrt{p}sqrt{C_1-p}) + C_3$ . (2)
Составляя систему из условий (1) и (2), исключаем по возможности параметр p и записываем общий интеграл.