Приветствую! С решением тригонометрического уравнения возникли трудности..
Само уравнение:
$sin^4x + cos^4x=- frac{25}{8} + frac{1}{sin^22x}$
Попробовал оставить в правой части только косинусы по основному тригонометрическому, в левой по двойному углу тоже оставить только синусы, получилась какая то ерунда..
Что-то мне подсказывает, что нужно оставить только косинусы.. Но вот переносить единичку али нет. Помогите, пожалуйста, разобраться!)
Заранее благодарствую!

Преобразуем левую часть:
$sin^{4} x + cos^{4} x = ( sin^{2}x) ^{2} + (cos^{2}x) ^{2} = ( sin^{2}x + cos^{2}x) ^{2} - 2 sin^{2} x cos^{2} x = 1 - 2 sin^{2} x cos^{2} x$

Далее:
$1 - frac{1}{2} * 4 sin^{2} x cos^{2}x = 1 - frac{1}{2} sin^{2} 2x$
Таким образом, получаем уравнение:
$1 - frac{1}{2} sin^{2}2x = -frac{25}{8} + frac{1}{ sin^{2}2x }$
Теперь понятно, что можно ввести замену $t = sin^{2}2x$ и продолжать решение уже дробно-рационального уравнения.

Советую запомнить приём, который я здесь употребил. Он состоит вот в чём.
Мы помним формулу сокращённого умножения:
$(x+y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$
Отсюда я могу легко выразить сумму квадратов:
$x^{2} + y^{2} = (x+y)^{2} - 2xy$
Думаю, Вы уже догадались, что в нашем уравнении сыграло роль x, а что y.
Этот приём встречается очень часто в самых неожиданных ситуациях, так что рекомендую запомнить его.
Уравнение можно было решить и по формулам понижения степени(правда, это значительно было бы сложнее). Но в целом, можно рассмотреть и такой вариант, но я показал проще.

Делаем замену:
$t = sin^{2} 2x, 0 leq t leq 1$
После замены получаем:
$1 - frac{t}{2} = - frac{25}{8} + frac{1}{t}$
Умножаем обе части уравнения на 8t(с дробями работать крайне неудобно, да и t в знаменателе нам ни к чему - просто запомним, что он должен быть отличным от 0, а потом проверим это):
$8t - 4 t^{2} + 25t - 8 = 0$
$4 t^{2} - 33t + 8 = 0$
Решаем квадратное уравнение(кстати, t уже отличен от 0. В этом можно убедиться прямой подстановкой)
$D = 33^{2} - 4 * 4 * 8 = 961 t_{1} = frac{33 - 31}{8} = frac{1}{4}; t_{2} = frac{33 + 31}{8} = 8 textgreater 1$ - этот корень не удовлетворяет нашему уравнению.
Следовательно, возвращаясь к переменной x, получаем простейшее уравнение:
$sin^{2} 2x = frac{1}{4} frac{1 - cos 4x}{2} = frac{1}{4}$
Отсюда
$cos 4x = frac{1}{2} 4x = +- frac{ pi }{3} + 2 pi n x = +- frac{ pi }{12} + frac{ pi n}{2}$
Это и есть ответ. Напомню, что при решении простейшего уравнения я использовал формулу понижения степени, а в конечном результате n - целое число.