Решите тригонометрическое уравнение.

Это уравнение можно записать в виде
$(|sin x|-1/sqrt{2})^2+sqrt{2}left|sin xright|cdot(1+cos(frac{5x}{2}-frac{5pi}{8}))=0.$
Т.кквадрат неотрицателен, а косинус всегда больше или равен -1, то леваячасть - это сумма двух неотрицательных слагаемых. Она может быть равна0, только когда каждое слагаемое равно 0, т.е. одновременно должновыполняться $sin x=pm 1/sqrt{2}$ и $cos(frac{5x}{2}-frac{5pi}{8})=-1.$ Это будет, когда $x=pi/4+pi k/2$ и $x=13pi/20+4pi n/5.$ Пересечение этих множеств находим из условия $pi/4+pi k/2=13pi/20+4pi n/5$ , что равносильно $5k-8n=4,$ откуда k=4+8m, n=2+5m. Таким образом ответ $xin{frac{9pi}{4}+4pi m}.$