Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех членов прогрессии равна 63, а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна -18.

Для исходной бесконечно убывающей геом.прогресии $(b_n)$ по условию: $S=b_1+b_2+b_3+...=dfrac{b_1}{1-q}=63$ , где q - знаменатель исходной прогрессии.
Теперь рассмотрим прогрессию $(c_n)$ , составленную из членов исходной прогрессии с четными номерами, т.е. $c_1=b_2,c_2=b_4,c_3=b_6,...$
Эта новая прогрессия - также геом. бесконечно убывающая. Следовательно,
$tilde{S}=c_1+c_2+c_3+...=dfrac{c_1}{1-tilde{q}}=-18$ , где $tilde{q}=dfrac{c_2}{c_1}=dfrac{b_4}{b_2}$ - знаменатель новой геом.прогрессии.
Преобразуем:
$tilde{S}=-18=dfrac{c_1}{1-tilde{q}}=dfrac{b_2}{1-frac{b_4}{b_2}}=dfrac{(b_2)^2}{b_2-b_4}=dfrac{(b_2)^2}{b_2-b_2q^2}=dfrac{b_2}{1-q^2}=dfrac{b_1q}{1-q^2}$
Получаем систему: $begin{cases} frac{b_1}{1-q}=63 frac{b_1q}{1-q^2}=-18 end{cases}$
Делим первое уравнение на второе:
$dfrac{b_1}{1-q}*dfrac{(1-q)(1+q)}{b_1q}=dfrac{63}{-18} dfrac{1+q}{q}=-dfrac{7}{2} 2+2q=-7q 9q=-2 q=- frac{2}{9}$
Ответ: $- frac{2}{9}$