Найдите ctg (x-y) если cosxsiny=2/3
sinxcosy=(-1/3)

Представим котангенс как отношение косинуса к синусу, распишем знаменатель по формуле синуса разности и подставим известные значения:
$mathrm{ctg}(x-y)= cfrac{cos(x-y)}{sin(x-y)} =cfrac{cos(x-y)}{sin xcos y-cos x sin y} = cfrac{cos(x-y)}{- frac{1}{3} - frac{2}{3} } = =cfrac{cos(x-y)}{- 1 } =-cos(x-y)$

Значит, $mathrm{ctg}(x-y)=-cos(x-y)$ , то есть котангенс и косинус одного и того же аргумента - противоположные числа. Перенесем все слагаемые в левую часть и разложим на множители:
$frac{cos(x-y)}{sin(x-y)}+cos(x-y)=0 cos(x-y)cdot(frac{1}{sin(x-y)}+1)=0$

1) Если $cos(x-y)=0$ , то $mathrm{ctg}(x-y)=-cos(x-y)=0$
2) Если $frac{1}{sin(x-y)}+1=0$ , то $sin(x-y)=-1$ , но синус достигает значение равное -1 при нулевом косинусе, значит как и в предыдущем случае $cos(x-y)=0Rightarrowmathrm{ctg}(x-y)=0$

Ответ: 0