Тригонометрическое уравнение
$sin2x+3=3sinx+3cosx$

$sin 2x+3=3sin x+3cos x sin 2x+3(sin^2x+cos^2x)-3(sin x+cos x)=0 sin2x+3(sin^2x+cos^2x+sin2x-sin2x)-3(sin x+cos x)=0 sin 2x+3((sin x+cos x)^2-sin2x)-3(sin x+cos x)=0 sin2x+3(sin x+cos x)^2-3sin2x-3(sin x+cos x)=0 3(sin x+cos x)^2-3(sin x+cos x)-2sin 2x=0$
Пусть $sin x+cos x=t,(|t| leq sqrt{2} )$ , тогда возведем обе части в квадрат: $1+sin2x=t^2$ , откуда $sin2x=t^2-1$
Заменяем
$3t^2-3t-2(t^2-1)=0 3t^2-3t-2t^2+2=0 t^2-3t+2=0$
По т. Виета
$t_1=2$ - не удовлетворяет условию при $|t| leq sqrt{2}$
$t_2=1$

Возвращаемся к замене
$sin x+cos x=1$

А теперь есть формула
$a sin xpm bcos x= sqrt{a^2+b^2}sin(xpmarcsin frac{b}{ sqrt{a^2+b^2} })$
В нашем случае
$sqrt{1^2+1^2}sin (x+arcsin frac{1}{ sqrt{1^2+1^2} } )=1 sqrt{2}sin (x+ frac{pi}{4})=1 sin (x+ frac{pi}{4})= frac{1}{sqrt{2}} x+frac{pi}{4}=(-1)^kcdot frac{pi}{4}+pi k,k in Z x=(-1)^kcdot frac{pi}{4}-frac{pi}{4}+pi k,k in Z$