Найти параметр а, при котором уравнение
2a cosx - 2 sinx = a
имеет хотя бы одно решение на отрезке [π/2; π]

$2acos x-2sin x=a 2a| sqrt{1-sin^2x} |-2sin x=a$
Пусть $sin x=t$ , причем $|t| leq 1$ , тогда получаем
$2a| sqrt{1-t^2}|-2t=a$
ОДЗ: 1-t²≥0, откуда |t|≤1 ⇒ -1 ≤ t ≤ 1
$2a sqrt{1-t^2}=2t+a sqrt{1-t^2}= frac{2t+a}{2a} 1-t^2= frac{(2t+a)^2}{4a^2} (1-t^2)4a^2=4t^2+4ta+a^2 4a^2-4a^2t^2-4t^2-4ta-a^2=0 -4t^2(1+a^2)-4at+3a^2=0$
Находим дискриминант
$D=b^2-4ac=(-4a)^2-4cdot(-4)cdot(1+a^2)cdot 3a^2==16a^2+48a^2(1+a^2)=16a^2+48a^2+48a^4=64a^2+48a^4 D=0 16a^2(4+3a^2)=0 a=0$

Итак, подставив а=0, получаем
-2sinx=0
x=πk,k ∈ Z
Отбор корней на отрезке [π/2;π]
k=1; x=π - одно решение

Ответ: при а=0 уравнение имеет решений на отрезке [π/2;π]