ПОМОГИТЕ С ПРЕДЕЛАМИ,ПОЖАЛУЙСТА!
1) $lim_{x to -1} frac{ x^{2} -x-2}{ x^{3} +1} =$
2) $lim_{x to pi +0} frac{ sqrt{1-cosx} }{ sinx} =$
3) $lim_{x to infty}( frac{5x^2}{1- x^{2} } - 2^{ frac{1}{x} }} )=$
4) $lim_{x to 7} frac{2- sqrt{x-3} }{ x^{2} -49} =$

1.
$limlimits_{x to -1} frac{ x^{2} -x-2}{ x^{3} +1} =limlimits_{x to -1} frac{ (x-2)(x+1)}{ (x +1)(x^2-x+1)} =limlimits_{x to -1} frac{ x-2}{ x^2-x+1} =frac{ -1-2}{ (-1)^2-(-1)+1}=-1$
Так как изначально возникает неопределенность [0/0], то необходимо сократить дробь на общий множитель числителя и знаменателя (х+1)

2.
$limlimits_{x to pi +0} frac{ sqrt{1-cos x} }{ sin x} =frac{ sqrt{1-cos (pi+0) } }{ sin (pi+0) } =frac{ sqrt{1-(-1) } }{ -0} =frac{ sqrt{2} }{ -0} =-infty$
Так как предел находится при приближении к числу π справа, то синус прежде чем принять значение 0 в точке π будет отрицательным и находиться в третьей четверти

3.
$limlimits_{x to infty}( frac{5x^2}{1- x^{2} } - 2^{ frac{1}{x} }} )= limlimits_{x to infty} frac{5x^2}{1- x^{2} } - limlimits_{x to infty} 2^{ frac{1}{x} }} = limlimits_{x to infty} cfrac{ frac{5x^2}{x^2} }{ frac{1}{x^2} - frac{x^2}{x^2} } -2^{ limlimits_{x to infty} frac{1}{x} }} = =limlimits_{x to infty} frac{ 5 }{ frac{1}{x^2} - 1 } -2^0 =frac{ 5 }{ - 1 } -1 =-5-1=-6$
Предел разности равен разности пределов, чтобы избавиться от неопределенности [∞/∞] необходимо числитель и знаменатель разделить на старшую степень, в данном случае х²

4.
1 способ
$limlimits_{x to 7} frac{2- sqrt{x-3} }{ x^{2} -49} = -limlimits_{x to 7} frac{2- sqrt{x-3} }{ 49-x^2} = -limlimits_{x to 7} frac{2- sqrt{x-3} }{ (7-x)(7+x)} = =-limlimits_{x to 7} frac{2- sqrt{x-3} }{ (4-(x-3))(x+7)} = -limlimits_{x to 7} frac{2- sqrt{x-3} }{ (2- sqrt{x-3})(2+ sqrt{x-3}) (x+7)} = =-limlimits_{x to 7} frac{1 }{ (2+ sqrt{x-3}) (x+7)} = - frac{1 }{ (2+ sqrt{7-3}) cdot(7+7)} = - frac{1 }{ 4 cdot14} =- frac{1}{56}$

2 способ
$limlimits_{x to 7} frac{2- sqrt{x-3} }{ x^{2} -49} = limlimits_{x to 7} frac{(2- sqrt{x-3}) }{( x^{2} -49)} = limlimits_{x to 7} frac{0- frac{1}{2sqrt{x-3}} }{2x} = =-limlimits_{x to 7} frac{1 }{4xsqrt{x-3}} =-frac{1 }{4cdot7sqrt{7-3}} =- frac{1}{56}$
Правило Лопиталя: предел отношения двух функция равен пределу отношения производных этих функций