Доказать,что
$intlimits^1_0 {e^{-x^2}} , dx geq frac{1}{2} ,xin R$

Данный интеграл сводится к так называемому ФУНКЦИЙ ОШИБОК
$intlimits^1_0 { e^{-x^2}} , dx = frac{1}{2} * sqrt{pi}*erf(x)$
Если разложить функцию в ряд Тейлора , она представляет собой
$erf(x) = frac{2}{sqrt{pi}}*sum_{n=1}^{infty} frac{ (-1)^n*x^{2n+1}}{n!(2n+1)}$
Так как у вас предел $0 leq x leq 1$ , то нужно доказать что
$1+ frac{1}{2!*5}+frac{1}{4!*9}+ frac{1}{6!*13 }+frac{1}{8!*17}+...- - (frac{1}{3}+frac{1}{3!*7}+frac{1}{1!*3}+ frac{1}{5!*11}...) geq 0.5$
Так как $1 - frac{1}{3} = frac{2}{3} textgreater frac{1}{2} frac{1}{2!*5} textgreater frac{1}{3!*7} ...$
Так как коэффициент равен $frac{sqrt{pi}}{2}$
То и вся сумма будет больше $geq frac{1}{2}$