Найти интервалы возрастания и убывания функции, минимумы и максимумы

$y = 12*x^3 - 3* x^2 + 1$
Сперва найдём производную:
$y = 36*x^2-6*x$
Функция достигает локальных экстремумов (возможных максимумов и минимумов), когда производная равна нулю:
$y = 36*x^2-6*x = x * (36*x-6) =0$
Решаем это уравнение. Тогда экстремумы достигаются при x=0, x = 1/6
При x = 0 имеем y = 1
При x=1/6 имеем y = 12 * (1/6)^3 - 3 * (1/6)^2 + 1 = 2/36 - 3/36 +1 = 35/36

Дальше, функция возрастает, когда y>0:
$y = x * (36*x-6) > 0$
То есть при x лежащих в интервалах (-inf,0) и (1/6,+inf).

Функция убывает, когда y<0:
$y = x * (36*x-6) < 0$
То есть при x лежащих в интервалах (0,1/6)

Вернёмся к эсктремумам. Так как при x<0 функция возрастает, а справа от нуля при x>0 начинает убывать, то x=0, y=1 - локальный максимум.

Так как при x<1/6 функция убывает, а при x>1/6 возрастает, то x=1/6, y=35/36 - локальный минимум.

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы