ДАЮ 50 БАЛЛОВ. решите хотя бы 4 из 6ти заданий.

1) $1+ frac{1}{x}= frac{x+1}{x}; frac{1}{ frac{x+1}{x} }= frac{x}{x+1}; 1+ frac{x}{x+1}= frac{2x+1}{x+1}; frac{1}{ frac{2x+1}{x+1} }= frac{x+1}{2x+1}$
3)Идея состоит в домножении дроби на сопряженное со знаменателем выражение (для каждой дроби - отдельно), в результате все корни будут сокращаться $frac{1}{ sqrt{2}+1 }= frac{ sqrt{2}-1 }{( sqrt{2} )^2-1^2}= frac{ sqrt{2}-1 }{1}; frac{1}{ sqrt{3} + sqrt{2} }= frac{ sqrt{3}- sqrt{2} }{1}... frac{1}{ sqrt{100}+ sqrt{99} }= frac{ sqrt{100}- sqrt{99} }{1}$ . Это задание нацеливает ученика на работу с похожими конструкциями и заставляет его выявлять определенные закономерности, в итоге после сложения получим $frac{-1+ sqrt{100} }{1}= frac{-1+10}{1}= frac{9}{1}=9$ . Вот мы и проверили равенство, всё, как написано.
4)Придётся несколько раз возводить всё в квадрат, но тут только в одном месте встречается переменная, так что это не особо страшно, хотя выбора у нас нет. $sqrt{1+ sqrt{2+ sqrt{x} } } =2; 1+ sqrt{2+ sqrt{x} }=4; sqrt{2+ sqrt{x} }=3;2+ sqrt{x} =9; sqrt{x} =7; x=49.$ Подстановкой корня в исходное уравнение убеждаемся, что всё в порядке.
5)Отцу был 31 год, ребенку 8 лет, тогда через $x$ лет отцу стало 31+x, ребенку стало 8+x лет. И в этот возраст ребенку в 2 раза меньше лет, чем отцу. Пусть y=количество лет, которое стало ребёнку, 2y - количество лет, которое стало отцу. Получим систему $-left { {{31+x=2y} atop {8+x=y}} right.; 23=y; y=23$ , это как раз то, что нужно найти. Ответ: стало 23 года "ребенку".
6)Обозначим v - любой знак неравенства. $244^{21}v79^{26}; 244^{21}v79^{21}*79^5; ( frac{244}{79} )^{21}v79^5$ . Частное от деления 244 на 79 чуть больше 3, сравним 3 в степени 21 и 79 в степени 5, очевидно, что "тройка" в 21 больше, т.е. $79^{26} textless 244^{21}$