Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиками функции y= $x^{2}$ , y= $sqrt{2-x}$ и прямой у=0.

$y= sqrt{2-x} ; ; to ; ; y^2=2-x; ,; ; y^2=-(x-2)$

Последнее уравнение - парабола, симметричная оси ОХ,
ветви которой направлены влево, вершина которой находится
в точке (2,0), пересекает ось ОУ в точке $(0, pmsqrt{2})$ .
Следовательно, уравнение $y=sqrt{2-x}$ является
верхней ветвью этой параболы.
$y=x^2$ - парабола, симметричная оси ОУ, ветви вверх,
вершина в точке (0,0).
Точки пересечения этих кривых: $x^2=sqrt{2-x}$ .
$x^4=2-x; ,; ; x^4+x-2=0; ; to ; ; x=1$

Другие точки пересечения нас не интересуют, так как
из чертежа видно, что достаточно этой точки.

$V=int _0^1(x^2)^2dx+pi int _1^2(sqrt{2-x})^2dx=pi int _0^1x^4dx+pi int _1^2(2-x)dx==pi cdot frac{x^5}{5}, |_0^1+pi cdot (2x-frac{x^2}{2})|_1^2=frac{pi}{5}+pi cdot (4-2-2+frac{1}{2})=frac{pi}{5}+frac{pi}{2}=frac{7pi }{10}$