Решить уравнение 2(lg2-1)+lg( $5^{ sqrt{x} }$ +1)≤lg( $5^{1- sqrt{x} }$ +5)

ОДЗ
х≥0

$2(lg2-1)+lg( 5^{ sqrt{x} } +1) leq lg( 5^{1- sqrt{x} } +5) 2(lg2-lg10)+lg( 5^{ sqrt{x} } +1) leq lg( 5^{1- sqrt{x} } +5) 2(lg frac{2}{10} )+lg( 5^{ sqrt{x} } +1) leq lg( 5^{1- sqrt{x} } +5)$

$lg (frac{1}{5})^2+lg( 5^{ sqrt{x} } +1) leq lg( 5^{1- sqrt{x} } +5) lg (frac{1}{5})^2cdot( 5^{ sqrt{x} } +1) leq lg( 5^{1- sqrt{x} } +5) frac{5^{ sqrt{x} } +1}{25} leq 5^{1- sqrt{x} } +5$

$5^{ sqrt{x} } +1 leq (5^{1- sqrt{x} } +5})cdot 25 5^{ sqrt{x} } +1 leq125cdot 5^{- sqrt{x} } +125 (5^{ sqrt{x} })^{2} -124cdot 5^{ sqrt{x} } -125 leq 0$
Замена переменной
$5^{ sqrt{x} }=t (5^{ sqrt{x} })^2=t^2$

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то t >0

t² - 124 t - 125 ≤ 0 (*)

D = (-124)²-4·(-125)=4·(4·31²+125)=4·(3844+125)=4·3969=(2·63)²=126²

t₁=(124-126)/2=-1 или t₂=(124+126)/2=125
Решение неравенства (*)
-1≤ t≤125

Но с учетом условия t >0, получим ответ

0 < t ≤ 125
t > 0 при любом х из ОДЗ : х≥0

$5^{ sqrt{x} } leq 125 5^{ sqrt{x} } leq 5^3 sqrt{x} leq 3 0 leq x leq 9$