ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА , срочно надо! ПЕРВЫЙ СКРИН ЭТО ОДНО . А 2-4 ВМЕСТЕ

№ 1.

если $a in A$ : : : $a = 4n_1 + 2$ , где $n_1 in Z$ ,

и $b in B$ : : : $b = 3n_2$ , где $n_2 in Z$ ,

то на пересечении множеств A и B необходимы равенства:

$4n_1 + 2 = 3n_2$ ;

$2( 2n_1 + 1 ) = 3n_2$ , а значит $( 2n_1 + 1 )$ кратно трём, т.е.

$2n_1 = 3n - 1$ , что возможно только при нечётных n = 2k-1 :

$2n_1 = 3(2k-1) - 1 = 6k-4$ , где $k in Z$ .

Значит элементы g пересечения G множеств A и B – это подмножество элементов A с индексом $n_1 = 3k - 2$ .

Подставим эти значения $n_1$ в общую формулу элементов множества A :

$g in G = A cap B$ : : : $g = 4 (3k-2) + 2 = 12k - 6$ , где $k in Z$ .

О т в е т : $g in G = A cap B$ : : : $g = 6(2k - 1)$ , где $k in Z$ .

№ 2.

$frac{6!}{ A_{10}^7 }( C_5^7 + C_7^3 ) = frac{6!}{ 10! / (10-7)! }( frac{7!}{ 2! 5! } + frac{7!}{ 3! 4! } ) = frac{ 6! 3! }{10!} frac{7!}{ 4! 2! } ( frac{1}{5} + frac{1}{3} ) =$

$= frac{6!}{10!} frac{7!}{ 2 * 4 } frac{8}{15} = frac{6!}{10!} frac{7!}{15} = frac{2*3*4*5*6}{8*9*10} frac{1}{15} = frac{1}{15}$ ;

О т в е т : 1/15 .

№ 3. Находится по обычной формуле размещений $A_2^4 = frac{4!}{ (4-2)! } = frac{4*3*2}{2} = 12$ ;

О т в е т : 12 .

№ 4. Каждый фонарь может гореть или не гореть, всего $2^8 = 256$ ;

О т в е т : 64 .

№ 5.

Из треугольника Паскаля следует, что:

$left[begin{array}{ccccccccccccccccc} 0 & || &&&&&&&& 1 &&&&&&& 1 & || &&&&&&& 1 && 1 &&&&&& 2 & || &&&&&& 1 && 2 && 1 &&&&& 3 & || &&&&& 1 && 3 && 3 && 1 &&&& 4 & || &&&& 1 && 4 && 6 && 4 && 1 &&& 5 & || &&& 1 && 5 && 10 && 10 && 5 && 1 && 6 & || && 1 && 6 && 15 && 20 && 15 && 6 && 1 & 7 & || & 1 && 7 && 21 && 35 && 35 && 21 && 7 && 1 end{array}right]$

$( x - b )^6 = x^6 - 6 x^5 b + 15 x^4 b^2 - 20 x^3 b^3 + 15 x^2 b^4 - 6 x b^5 + b^6$ ;

$( x - 2 )^6 = x^6 - 6 x^5 * 2 + 15 x^4 * 4 - 20 x^3 * 8 + 15 x^2 * 16 - 6 x * 32 + 64$ ;

О т в е т : $( x - 2 )^6 = x^6 - 12 x^5 + 60 x^4 - 160 x^3 + 240 x^2 - 192 x + 64$ .

№ 6. Грушу можно выбрать 8 способами, а потом каждая из ветвей возможной истории разделяется ещё на 5 подветвей, когда мы выбираем пятью способами яблоко. Всего 8*5=40 .

О т в е т : 40 .

№ 7. Смешная задача. Про «модное составление» :–) /// шутка

Находится по обычной формуле перестановок $P_5 = 5! = 2*3*4*5 = 120$ ;

О т в е т : 120 .

№ 8.

Вытащим сразу чёрный карандаш. После этого будем вынимать 3 карадаша без учёта порядка. Это вычисляется по обычной формуле сочетаний (выборки):

$C_3^{11} = frac{11!}{3!8!} = frac{11*10*9}{3*2} = 11*5*3 = 165$ ;

О т в е т : 165 .

III.1.a)

$( sqrt{ 6 - sqrt{11} } + sqrt{ 6 + sqrt{11} } )^2 = ( sqrt{ 6 - sqrt{11} } )^2 + 2 sqrt{ 6 - sqrt{11} } sqrt{ 6 + sqrt{11} } + ( sqrt{ 6 + sqrt{11} } )^2 =$

$= 6 - sqrt{11} + 2 sqrt{ ( 6 - sqrt{11} ) ( 6 + sqrt{11} ) } + 6 + sqrt{11} = 12 + 2 sqrt{ 36 - 11 } = 12 + 2*5 =$

$= 22$ ;

III.1.б)

$sqrt[3]{ 1 + sqrt{2} } sqrt[6]{ 3 - 2 sqrt{2} } = sqrt[6]{ ( 1 + sqrt{2} )^2 } sqrt[6]{ 3 - 2 sqrt{2} } =$

$= sqrt[6]{ ( 1 + 2 + 2 sqrt{2} ) ( 3 - 2 sqrt{2} ) } = sqrt[6]{ ( 3 + 2 sqrt{2} ) ( 3 - 2 sqrt{2} ) } = sqrt[6]{ 9 - 8 } = sqrt[6]{1} = 1$ ;

III.10.б)

$sqrt{ x + 2 } - sqrt[3]{ 3x + 2 } = 0$ ;

ОДЗ : { $x geq -2$ ; } $cap$ { $x geq -2/3$ ; }

Итак: $x geq -2/3$ ;

$sqrt{ x + 2 } = sqrt[3]{ 3x + 2 }$ ;

$( x + 2 )^3 = ( 3x + 2 )^2$ ;

$x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 9x^2 + 12x + 4$ ;

$x^3 - 3x^2 + 4 = 0$ ;

очевидно: $x_1 = -1$ – хотя этот корень посторонний по ОДЗ ;

$x^2(x+1) - 4x(x+1) + 4(x+1) = 0$ ;

$( x^2 - 4x + 4 )(x+1) = 0$ ;

$(x-2)^2(x+1) = 0$ ;

ответ: x = 2 ;

III.11.в)

$sqrt[3]{ x^3 + x^2 - 2x +1 } < sqrt[3]{x^3}$ ;

$x^3 + x^2 - 2x +1 < x^3$ ;

$x^2 - 2x + 1 < 0$ ;

$( x - 1 )^2 < 0$ – нет решений, ответ: $x in emptyset$ .

III.9.б)

$( frac{ sqrt{a+x} + sqrt{a-x} }{ sqrt{a+x} - sqrt{a-x} } + 1 ) : frac{1}{ ( sqrt{a+x} - sqrt{a-x} ) sqrt{a+x} } =$

$= ( sqrt{a+x} + sqrt{a-x} + sqrt{a+x} - sqrt{a-x} ) : frac{1}{ sqrt{a+x} } =$

$= ( sqrt{a+x} + sqrt{a+x} ) sqrt{a+x} = 2(a+x)$ .