Как решить лимит lim x->к бесконечности (2n+5/2n+7)^2n+1

Как определить предел $lim_{n to infty} ( frac{2n+5}{2n+7})^{2n+1}$

Решение:

$lim_{n to infty} ( frac{2n+5}{2n+7})^{2n+1} = lim_{n to infty} ( frac{2n+7-2}{2n+7})^{2n+1}=$

$= lim_{n to infty} ( frac{2n+7}{2n+7}- frac{2}{2n+7} )^{2n+1}= lim_{n to infty} ( 1-frac{2}{2n+7})^{2n+1}=$

$= lim_{n to infty} (1-frac{1}{n+ frac{7}{2} })^{2n+1}= 1^{infty}$

Данная неопределенность раскрывается с помощью второгозамечательного предела.
Рассуждать можно следующим образом: в данномпримере параметр

α = $-(n+ frac{7}{2})$ ,
значит, в показателе степени нам тоже нужно организовать

$-(n+ frac{7}{2})$ .

Для этого возводим основание в степень

$-(n+ frac{7}{2} )$ и,

чтобы выражение не изменилось – возводим в степень

$-frac{1}{n+ frac{7}{2} }$ :

$lim_{n to infty} (1-frac{1}{n+ frac{7}{2} })^{2n+1}=lim_{n to infty} (1-frac{1}{n+ frac{7}{2} })^{-(n+ frac{7}{2})* (-frac{2n+1}{n+ frac{7}{2} }) }=$

$=e^{ lim_{n to infty}(-frac{2n+1}{n+ frac{7}{2} }) }=e^{ lim_{n to infty}(-frac{2+ frac{1}{n} 1}{1+ frac{7}{2n} }) }=e^{-2}= frac{1}{e^2}$