Каким будет объединение этих решений тригонометрического уравнения:
$1. ;x_1=frac{pi n}{2};qquad x_2=frac{pi}{2}+pi k;quad n,; k in Z; 2.; x_1 = frac{pi n}{4};qquad x_2=frac{pi k}{2}; quad n,; k in Z; 3. ; x_1=frac{pi n}{2}; qquad x_2 = frac{pi}{10} +frac{pi k}{5}; quad n, ; k in Z.$
Здесь три разных примера, надо объединить х1 и х2. Объясните как это делается

3) $x_1=frac{pi n}{2}; ;; ; x_2=frac{pi}{10}+frac{pi k}{5}; ;; ; ; n,kin Z$

Приведём множества, определяемые данными формулами, к множествам членов арифметических прогрессий с одной и той же разностью d=π (или просто, представим их по одной разности π),чтобы иметьодинаковый период πm.Для этого n представим по разности 2, а k представим по разности 5. То есть придаём значение n=2m или n=2m+1. А для k придаём значения
k=5m; 5m+1; 5m+2; 5m+3; 5m+4.

$x_1=frac{pi n}{2}; to ; x_1=left [ {{pi m,; ; esli; n=2m} atop {frac{pi}{2}+pi m,; esli; n=2m+1}} right. x_2=frac{pi}{10}+frac{pi k}{5},; to ; x_2= left [ {{frac{pi}{10}+pi m,; esli; k=5m} atop {frac{3pi }{10}+pi m,; esli; k=5m+1}} right. ,x_2= left [ {{frac{pi}{2}+pi m,; esli; k=5m+2} atop {frac{7pi }{10}+pi m,; esli; k=5m+3}} right. x_2=left [ {{frac{9pi }{10}+pi m,; esli; k=5m+4} atop {}} right.$

При n=2m+1 и k=5m+2 значения $x_1$ и $x_2$ совпадают.Отсюда, подставим либо n=2m+1 в формулу для $x_1$ ,либо k=5m+2 в формулу для $x_2$ .

$x=frac{pi n}{2}=frac{pi (2m+1)}{2}=frac{2pi m}{2}+frac{pi}{2}=frac{pi}{2}+pi m,; min Z$

Пересечением данных множеств будет $x=frac{pi}{2}+pi m; ,; min Z.$

2) Аналогично. Представим множества решений по одной разности π.Тогда n=4m; 4m+1; 4m+2; 4m+3. А для k=2m; 2m+1. Тогда:
$x_1= left [ {{pi m,; n=4m} atop {frac{pi}{4}+pi m,; n=4m+1}} right. ,x_1= left [ {{frac{pi}{2}+pi m,; n=4m+2} atop {frac{3pi }{4}+pi m,; n=4m+3}} right. x_2= left [ {{pi m,; k=2m} atop {frac{pi}{2}+pi m,; k=2m+1}} right. Peresechenie; :; ; x_1=frac{pi (4m+2)}{4}=frac{pi}{2}+pi m; ,; min Zili; ; x_2=frac{pi k}{2}=frac{pi (2m+1)}{2}=frac{pi}{2}+pi m,; min Z$

Получили одинаковые ответы, поэтому из какого множества получать ответ безразлично.
1)
Пересечение множеств: x=П/2+Пк, к-целое
Смотри вложение.