Найдите числа представляющие собой кубы натуральных чисел и имеющие вид 13р+1, где р простое число

Обозначим искомое число как $n^3$ , по условию $n^3=13p+1$ . Перенесём единицу в левую часть и разложим разность кубов на множители:
$(n-1)(n^2+n+1)=13p$

Понятно, что $n>2$ , тогда обе скобки-сомножителя - натуральные числа, большие 1. С другой стороны, произведение $13p$ представляется в виде двух натуральных сомножителей, больших единицы, единственным (с точностью до перестановок) способом: $13p=13cdot p$ . Поэтому $n-1$ , $n^2+n+1$ равны либо $13$ и $p$ , либо $p$ и $13$ .

Случай 1. $begin{cases}n-1=13n^2+n+1=pend{cases}$
Из первого уравнения следует, что $n=14$ , тогда после подстановки во второе уравнение находим $p=14^2+14+1=211$ . $211$ - действительно простое число, так что $n=14$ нас устраивает.

Случай 2. $begin{cases}n-1=pn^2+n+1=13end{cases}$
Тут всё немного сложнее: уравнение на $n$ квадратное, а не линейное, как в первом случае. Упростив, получаем уравнение $n^2+n-12=0$ , у которого только один натуральный корень $n=3$ .
Подставляем в первое равенство: $p=3-1=2$ - простое число, так что и тут нас всё устраивает.

Ответ. $14^3=2744$ , $3^3=27$