1. a) Вычислите площадь фигуры , ограниченной линиями ( сделав рисунок ).
y = 2x²; y=8.
б) Найти - задание во вложении 1.
в) Решить неравенство - задание во вложении 2.

$/int/limits^1_{-1} { /frac{(9-x^2)(x^2-16)}{x^2-7x+12} } /, dx$

Во первых, максимально упростим подинтегральное выражение:
$/int/limits^1_{-1} { /frac{(3+x)(3-x)(x+4)(x-4)}{(x-3)(x-4)} } /, dx= /int/limits^1_{-1} { /frac{(3+x)(3-x)(x+4)}{(x-3)} } /, dx$
$/int/limits^1_{-1} { /frac{(3+x)(3-x)(x+4)}{-(3-x)} } /, dx=/int/limits^1_{-1} {-(3+x)(x+4) /, dx=/int/limits^1_{-1} {-x^2-7x-12} /, dx$
Если вам не понятно, поясню. В числителе было произведение разностей квадратов, а значит, можно привести данные выражения к более простым (как мы и сделали), а в знаменателе, я разложил многочлен на множители с помощью метода разложения квадратного трехчлена.
Нам осталось решить определенный интеграл через формулу Ньютона-Лейбница:
$/int/limits^1_{-1} {-x^2-7x-12} /, dx=- /frac{1}{3}x^3- /frac{7}{2}x^2-12x/Big|_{-1}^1- /frac{x^3}{3}- /frac{7x^2}{2}-12x/Big|_{-1}^1=( -/frac{1}{3}-/frac{7}{2}-12)-( /frac{1}{3}-/frac{7}{2}+12)=-/frac{2}{3}-24$

То есть:
$/int/limits^1_{-1} {-x^2-7x-12} /, dx=-24 /frac{2}{3}$

2)
Вначале решим определенный интеграл, а потом неравенство:
$/int/limits^a_2 {2x} /, dx=x^2/big|_2^a=a^2-4$

Теперь неравенство:
$a^2-4/ /textgreater / 5$
$a^2/ /textgreater / 9$ - перенесли 4 в право.

Переносим 9 в лево:
$a^2-9/ /textgreater / 0$
Так как это разность квадратов, получаем:
$(a+3)(a-3)/ /textgreater / 0$
Есть 2 корня, при котором левое выражение обращается в нуль:
$a_{1,2}=/pm3$
Отметим данные точки на числовой прямой, и получим 3 интервала:
$(-/infty,-3)(-3,3)(3,+/infty)$
Теперь проверим знаки на каждом из интервалов (нам подойдет интервал со знаком +, так как наше неравенство строго больше нуля).
$(-/infty,-3)=+$
$(-3,3)=-$
$(3,+/infty)=+$

Отсюда ответ:
$x/in(-/infty,-3)/cup(3,+/infty)$

3)
Во первых границы фигуры:
$2x^2=8$
$x^2=4$
$x_{1,2}=/pm2$

График $y=2x^2$ начинается из начала координат, график y=8 с точки (0;8).
Понятное дело, что график y=8 выше $y=2x^2$ на данном отрезке $x/in[-2,2]$

Составим определенный интеграл:
$/int/limits^2_{-2} {8-2x^2} /, dx$ - заметьте, мы отняли из высшего графика, низший.
По теореме Ньютона-Лейбница, находим:
$/int/limits^2_{-2} {8-2x^2} /, dx =8x-/frac{2x^3}{3}/big|_{-2}^2=(16- /frac{16}{3})-(-16+ /frac{16}{3})=32- /frac{32}{3}= /frac{64}{3}$
$/int/limits^2_{-2} {8-2x^2} /, dx =/frac{64}{3}=21 /frac{1}{3}$