Решить уравнение:
$/frac{x^2+x-5}{x}+ /frac{3x}{x^2+x-5}+4=0$
В ответ записать произведение корней
Ответ: 25

$/frac{x^2+x-5}{x}+ /frac{3x}{x^2+x-5}+4=0$
Замена:
$/frac{x^2+x-5}{x}=a/Rightarrow /frac{3x}{x^2+x-5}= /frac{3}{a} ; / (x /neq 0, / a /neq 0)$
Решаем уравнение:
$a+ /frac{3}{a} +4=0 /// a^2+4a+3=0 /// a^2+a+3a+3=0 /// a(a+1)+3(a+1)=0 /// (a+1)(a+3)=0 /// a_1=-1 /// a_2=-3$
Возвращаемся к исходной переменной:
$/left [ {{/dfrac{x^2+x-5}{x}=-1} /atop {/dfrac{x^2+x-5}{x}=-3}} /right. /// /left [ {{x^2+x-5=-x} /atop {x^2+x-5=-3x}} /right. /// /left [ {{x^2+2x-5=0} /atop {x^2+4x-5=0}} /right.$
Найдем дискриминанты получившихся уравнений:
$/left [ {{D_1=1^2-1/cdot(-5)=1+5=6/ /textgreater / 0}/atop {D_1=2^2-1/cdot(-5)=4+5=9/ /textgreater / 0}} /right.$
Оба дискриминанта положительные, значит у каждого уравнения есть по два корня, причем ни один из них не равен нулю.
Можно записать сами корни:
$x_{12}= -1/pm /sqrt{6} ; / x_3=-2-3=-5; / x_4=-2+3=1$
Так как нужно найти произведение корней, то по теореме Виета (произведение корней приведенного квадратного уравнения есть свободный член) запишем:
$/left [ {{x_1x_2=-5} /atop {x_3x_4=-5}} /right.$
Находим произведение всех корней:
$x_1x_2x_3x_4=(-5)/cdot(-5)=25$
Ответ: 25