Найдите наибольшее отрицательное решение уравнения+решение
$tg2x+ /frac{1}{3} ctg2x= /frac{5}{3sin2x}$

$tg{2x} + /frac{1}{3}ctg{2x} = /frac{5}{ 3 sin{2x} } / ; / / / / / || /cdot 3 / ;$

$/frac{ 3sin{2x} }{ cos{2x} } + /frac{ cos{2x} }{ sin{2x} } = /frac{5}{ sin{2x} } / ; / / / / / || /cdot sin{2x} /cdot cos{2x} / ;$

$3sin^2{2x} + cos^2{2x} = 5 cos{2x} / ;$

$3 /cdot ( 1 - cos^2{2x} ) + cos^2{2x} = 5 cos{2x} / ;$

$3 - 3 cos^2{2x} + cos^2{2x} = 5 cos{2x} / ;$

$3 - 2 cos^2{2x} - 5 cos{2x} = 0 / ;$

$2 cos^2{2x} + 5 cos{2x} - 3 = 0 / ;$

$D = 5^2 - 4 /cdot 2 /cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2 / ;$

$cos{2x} = /frac{ -5 /pm 7 }{ 2 /cdot 2 } /in /{ -3 , /frac{1}{2} /} / ;$

$cos{2x} = /frac{1}{2} / ;$

$2x = /pm /frac{ /pi }{3} + 2 /pi n , n /in Z / ;$

$x = /pm /frac{ /pi }{6} + /pi n , n /in Z / ;$

Наибольшее отрицательное решение, т.е. наиболее близкое к нулю отрицательное решение будет $x = - /frac{ /pi }{6} / ;$

О т в е т : $x = - /frac{ /pi }{6} / .$