Вычислите интеграл:
$/int/limits^/frac{/pi}{2}_0 {/frac{cosx dx}{2sinx+1}}$ ,
Задание из учебника 11-го класса уровня С, т.е. сложного. Логарифмы и метод интегрирования по частям ещё не проходил. Чтобы подтвердить это добавил вложение снимок содержания учебника. Обратите внимание на страницу 26, она из главы Первообразная и Интеграл, до Логарифма ещё далеко.
Другой пример из этого же задания решил так:
$/int/limits^/frac{/pi}{2}_0 {/frac{cosx dx}{1-/sqrt{2} cos/frac{x}{2}}} //cos2x=2cos^2x-1=(/sqrt2cosx-1)(/sqrt2cosx+1)//x=/frac{x}{2}//cosx=(/sqrt2cos/frac{x}{2}-1)(/sqrt2cos/frac{x}{2}+1)///frac{cosx}{1-/sqrt2cos/frac{x}{2}}=-(/sqrt2cos/frac{x}{2}+1)// /int/limits^/frac{/pi}{2}_0 {/frac{cosx dx}{1-/sqrt{2} cos/frac{x}{2}}}=/int/limits^/frac{/pi}{2}_0 {-(/sqrt2cos/frac{x}{2}+1)dx}$
Далее всё просто, применяем формулу Ньютона-Лейбница.
Вот поэтому, после решения этого примера, меня не покидает вера, что можно таким же образом как-то преобразовать без логарифма.
Пожалуйста, не удаляйте это задание!

$/int/limits^{/frac{/pi}{2}}_0 {/frac{cosx/, dx}{2sinx+1} =[/, t=2sinx+1/; ,/; dt=2cosx/, dx/; /to /; cosx/, dx=/frac{dt}{2},$

$t_1=2sin0+1=1/; ,/; /; t_2=2sin/frac{/pi}{2}+1=2+1=3/; ]=////=/frac{1}{2}/int _1^3/, /frac{dt}{t}=/frac{1}{2}ln|t||_1^3=/frac{1}{2}(ln3-ln1)=/frac{1}{2}ln3$

$/int _0^{/frac{/pi}{2}}/, /frac{cosx/, dxz}{1-/sqrt2cos/frac{x}{2}}=-/int _0^{/frac{/pi}{2}}(/sqrt2cos/frac{x}{2}+1)dx=-(2/sqrt2sin/frac{x}{2}+x)_0^{/frac{/pi}{2}}=////=-(2/sqrt2/cdot /frac{/sqrt2}{2}+/frac{/pi}{2})=-(2+/frac{/pi}{2})$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы