Лёша купил 11 бутылок кока-колы, а Федя 14 бутылок пепси. Леша покупал бутылки по цене a рублей, a Федя по b рублей (a,b — натуральные). Когда они встретились, выяснилось, что в сумме они потратили 2013 рублей. Сколько различных вариантов цен (пар (a,b)
) могло быть (мы считаем, что, как кола, так и пепси могли стоить любое натуральное число рублей)?
Ууу, это вы хорошую задачку придумали :) Ну, то есть не вы придумали, но она мне очень нравится.
Уравнение будет такое: , его надо решить в целых числах.
Есть алгоритм решения таких уравнений, называются они линейными диофантовыми уравнениями, потому что изучал их Диофант, полагаю.
Так вот, сначала нужно найти НОД коэффициентов, то есть 11 и 14, так как они взаимнопросты, то
Потом на него надо сократить, при чём если не сократится, то решения нет. Но нам тут сокращать не на что.
Дальше надо угадать какое-то решение, одно, любое. На самом деле, оно не угадывается, а находится по алгоритму Евклида обратным ходом (есть такая ещё теорема о линейном представлении НОДа). Ну так вот, из неё , значит одно из решений будет таким:
Круто, да? Подойдёт, проверьте. Это я просто домножил на 2013 представление единицы.
Вы скажете: ну это же не решение, какое-то отрицательное число!
Я вам на это скажу, что вы правы. И замечу только, что общее решение в целых числах пишется так:
И теперь последний шаг, нужно найти такие t, что оба эти числа натуральны.
Ну и выходит, что нету таких t, может, я где-то ошибся, но вроде калькулятором пользовался.
Такие дела. Предмет, на котором это проходят, называется "теория чисел", а задачки такие на олимпиадах дают, там школьники это всё уже должны знать.
Знание - сила.
Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!
