1)Какое значение а нужно,чтобы уравнение а²х- 2а²=49х+14а имело один корень?
2)При каком значении а сумма корней уравнения х²-(а²-17а+83)х-21=0 будет наименьшей?

$a^2x- 2a^2=49x+14a /// a^2x-49x=2a^2+14a /// (a^2-49)x=2a(a+7) /// (a-7)(a+7)x=2a(a+7)$
Рассмотрим три случая:
1) При а=7 получим:
$(7-7)/cdot (7+7)/cdot x=2/cdot7/cdot(7+7) /// 0/cdot 14/cdot x=14/cdot14 /// 0/cdot x=196$
Получившееся уравнение не имеет решений.
2) При а=-7 получим:
$(-7-7)/cdot (-7+7)/cdot x=2/cdot(-7)/cdot(-7+7) /// -14/cdot 0/cdot x=-14/cdot0 /// 0/cdot x=0$
Получившееся уравнение имеет бесконечное множество корней.
3) Если а≠7 и а≠-7, то разделим левую и правую часть уравнения на (а+7)(а-7)
$/dfrac{(a-7)(a+7)}{(a-7)(a+7)} /cdot x= /dfrac{2a(a+7)}{(a-7)(a+7)} /// x= /dfrac{2a}{a-7}$
Именно в этом случае уравнение будет иметь один корень.
Ответ: $a/in(-/infty;-7)/cup(-7;7)/cup(7;+/infty)$

$x^2-(a^2-17a+83)x-21=0$
Прежде чем рассматривать сумму корней докажем, что уравнение всегда будет иметь корни. Находим дискриминант:
$D=(a^2-17a+83)^2-4/cdot1/cdot(-21)=(a^2-17a+83)^2+84$
Сумма неотрицательного числа (квадрат) и положительного числа есть число положительное, значит дискриминант положительный и уравнение имеет два корня при любом значении а.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком:
$x_1+x_2=a^2-17a+83$
Выражение $f(a)=a^2-17a+83$ представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола ветвями вверх. Наименьшее значение такой функции достигается в вершине, которую вычислим по формуле:
$a_{min}=-/frac{B}{2A} =-/frac{-17}{2/cdot1} =8.5$
Иначе можно было найти ответ приравняв к нулю первую производную функции:
$(a^2-17a+83)=0 /// 2a-17=0 /// a_{min}= /frac{17}{2} =8.5$
Ответ: 8,5