1. Найдите точку максимума функции: y=(x-12)^2(x-3)+4
2. Найдите точку минимума функции: y=(x+8)^2(5x-32)+11
3. Найдите наименьшее значение функции: y=3x-x* корень из х+9 на отрезке [1,7]

Пример 1. Найти точку максимума функции $y=(x-12)^2(x-3)+4$

Решение:

1) Вычислим производную функции:
$y=((x-12)^2(x-3)+4)=((x-12)^2)(x-3)+(x-12)^2(x-3)=// // =2(x-12)(x-3)+(x-12)^2=(x-12)(2x-6+x-12)=// // =(x-12)(3x-18)$
2) Приравниваем производную функции к нулю:
$(x-12)(3x-18)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю
$x-12=0// x_1=12// 3x-18=0// 3x=18// x_2=6$

___+___(6)___-___(12)____+__
В точке х=6 производная функции меняется знак с (+) на (-), следовательно точка х=6 максимума.

Ответ: х=6 - точка максимума

Пример 2. Найти точку минимума функции $y=(x+8)^2(5x-32)+11$

Решение:

1) Найдем производную данной функции
$y=((x+8)^2(5x-32)+11)=((x+8)^2)(5x-32)+(x+8)^2(5x-32)=// // =2(x+8)(5x-32)+5(x+8)^2=(x+8)(10x-64+5x+40)=// // =(x+8)(15x-24)$
2) Приравниваем производную функции к нулю
$(x+8)(15x-24)=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю
$x+8=0// x_1=-8// // 15x-24=0|:3// 5x-8=0// // x=8/5=1.6$

___+___(-8)___-__(1.6)__+___
В точке х=1,6 знак производная меняется с (-) на (+), следовательно, точка х = 1,6 - т. минимума

Ответ: х=1.6 - точка минимума

Пример 3. Найти наименьшее значение функции $y=3x-x /sqrt{x+9}$ на отрезке $[1;7]$

Решение:

1) Вычислим производную функции
$y=(3x-x /sqrt{x+9} )=3-((x)/sqrt{x+9}+x(/sqrt{x+9}))=// // =3-/sqrt{x+9}- /dfrac{x}{2/sqrt{x+9}}$

2) Приравниваем производную функции к нулю
$3-/sqrt{x+9}- /dfrac{x}{2/sqrt{x+9}} =0$
Пусть $/sqrt{x+9}=t$ , причем $t /geq 0$ , и $x=t^2-9$ тогда получаем
$3-t- /dfrac{t^2-9}{2t} =0/,/,/, /bigg|/cdot (2t/ne0)// // // 6t-2t^2-t^2+9=0// -3t^2+6t+9=0// // -3(t^2-2t-3)=0// t^2-2t-3=0$
По т. Виета:
$t_1=-1// t_2=3$
Корень t=-1 не удовлетворяет условию при t≥0

Обратная замена
$/sqrt{x+9}=3// x+9=9// x=0/notin [1;7]$

3) Найдем наименьшее значение на концах отрезка
$y(1)=3/cdot 1-1/cdot /sqrt{1+9} =3-/sqrt{10} / /textless / 0// y(7)=3/cdot7-7/cdot/sqrt{7+9} =21-7/cdot4=21-28=-7/,/,/,/,/,-/,/,/,/,/,/,/, /min$

Ответ: наименьшее значение y(7)=-7