C3: $log_{x} ( /sqrt{x^2 + 2x - 3} + 2 )log_{5}(x^2 + 2x - 2) /geq log_{x}4$

Прикинем, какие ограничения есть на x. Выражение под корнем должно быть неотрицательно:
$x^2+2x-3/geqslant 0// x/in(-/infty,-3]/cup[1,+/infty)$

В основании логарифма должно стоять положительное число, не равное 1, поэтому с учётом полученного ранее неравенства выполняется соотношение x > 1.

При таких иксах $/log_x4>0$ и на правую часть можно поделить. Пользуясь известной формулой перехода к новому основанию, переписываем полученное в виде
$/log_4(/sqrt{x^2+2x-3}+2)/log_5(x^2+2x-2)/geqslant 1$

Как устроена функция из левой части неравенства? При x > 1 она возрастает, вблизи x = 1 значения близки к нулю (уж точно меньше правой части), поэтому решение неравенства - множество $[x_0,+/infty)$ , где $x_0$ - значение, при котором неравенство обращается в равенство. Таким образом, остаётся лишь каким-то образом найти решение уравнения
$/log_4(/sqrt{x^2+2x-3}+2)/log_5(x^2+2x-2)=1$

Каких-то хороших способов решить такое уравнение мне в голову не пришло, поэтому корень просто угадаю. Представим, что аргумент второго логарифма равен 5. Тогда аргумент второго логарифма окажется равным $/sqrt{5-1}+2=4$ , и произведение окажется равным $/log_44/cdot/log_55=1$ , как и требуется.

Теперь всё свелось уж к совсем простому: необходимо найти такое x > 1, при котором $x^2+2x-2=5$ . Это $x=2/sqrt2-1$ .

Ответ. $[2/sqrt2-1,+/infty)$