Решите уравнение
$/sqrt{x} + x^{2} =18$
$/sqrt{x}$ и $x^{2}$ рассмотрим, как отдельные ф-ии. Ф-я
$y=/sqrt{x}$ возрастающая и имеет смысл при x>=0, y=x^2 тоже возрастающая ф-я. По св-ву монотонных ф-ий функция y=√x+x^2 возрастающая. Значит корень у такой ф-ии один.
В данном случае подходит x=4.
Ответ: x=4

$/sqrt x+x^2=18$

ОДЗ: $x/geqslant0$

$/sqrt x=t, / / t/geqslant0//// t+t^4=18//// t^4+t-18=0$

Рассмотрим целые числители свободного члена 18:

$/pm1;/pm2;/pm3;/pm6;/pm9;/pm18$

Подставляем в уравнение по порядку, пока не найдем нужное нам число.

$t=1& /Rightarrow&1+1-18/neq0// t=-1 &/Rightarrow&1-1-18/neq0// t=2&/Rightarrow&16+2-18=0$

$/boxed{t_1=2}$ является корнем

Значит,

$(t^4+t-18):(t-2)$ делится без остатка

Делим в столбик:

$/arraycolsep=0.05em /begin{array}{rrrrr@{/,}r|l} t^4&&&+t&-18&&/,t-2// /cline{7-7} t^4&-2t^3&&&&&/,t^3+2t^2+4t+9// /cline{1-2} &2t^3&+t&-18&/,// &2t^3&-4t^2&&// /cline{2-3} &&4t^2&+t&-18/,// &&4t^2&-8t&// /cline{3-4} &&&9t&-18/,// &&&9t&-1// /cline{4-5} &&&&0// /end{array}$

$t_4+t-18 /Longrightarrow(t-2)(t^3+2t^2+4t+9)=0$

Ищем целочисленные корни кубического многочлена:

$t^3+2t^2+4t+9$

$9: / /pm1; /pm3;/pm9$

$/pm1$ мы проверяли, не подходило

$t=3/Rightarrow 27+2/cdot9+4/cdot3+9/neq0$

Вообще, очевидно, что $t/ /textgreater / 0$ не подходит сразу, поэтому $t=9$ не проверяем.

$t=-3/Rightarrow-27+2/cdot9-12+9=-12/neq0//// t=-9/Rightarrow(-9)^3+2/cdot(-9)^2-4/cdot9+9=-729+162-36+9/neq0$

Таким образом, целочисленных решений нет, а дробные не подходят в начальном уравнении

$t=2/Rightarrow x=t^2=/boxed{4}$

Исследуем графически:

$/sqrt x+x^2=18// /sqrt x=18-x^2$

График прилагается

Решением является $x=4$

Ответ: $x=4$