Докажите, что для любых а≠b для функции f(x) = х^2 выполняется неравенство $f/left( /frac{ a+b}{2}/right)/ /textless/frac{f( a)+f(b)}{2}$

$a, b &/ (a/neq b)& / / / &f(x)=x^2//// / / / / / f( /frac{a+b}{2})/ /textless / f /frac{f(a)+f(b)}{2}$

Решение (доказательство):

$f( /frac{a+b}{2})= (/frac{a+b}{2})^2= /frac{(a+b)^2}{4} //// /frac{f(a)+f(b)}{2}= /frac{a^2+b^2}{2}$

что и требовалось доказать

Нужно доказать, что $/forall / a,b/ / (a/neq b)$

$/frac{(a+b)^2}{4}/ /textless / /frac{a^2+b^2}{2}$

Рассмотрим верное неравенство:

$(a-b)^2/ /textgreater / 0$ , если $a/neq b$

$a^2-2ab+b^2/ /textgreater / 0//// 2ab/ /textless / a^2+b^2$

Добавим к обеим частям сумму $a^2+b^2$

$a^2+2ab+b^2/ /textless / 2(a^2+b^2)//// (a+b)^2/ /textless / 2(a^2+b^2)/ / / |:4//// /frac{(a+b)^2}{4}/ /textless / /frac{a^2+b^2}{4}, / / / /forall / / a/neq b$