Прямая L заданная уравнением у = ах (а > 0), делит квадрат ОАВС (О — начало координат, А(0; 4), С(4; 0)) на две фигуры. Задайте следующие функции f в зависимости от значения а:
а) f(a) — площадь фигуры, содержащей вершину А;
б) f(a) — площадь фигуры, содержащей вершину С;
в) f(a) — отношение, в котором прямая L делит площадь квадрата (считая от фигуры, содержащей точку А).

Прежде все покажем квадрат, а также прямую заданную функцией $y = ax, a / /textgreater / 0$ на одной координатной плоскости (смотрите первый рисунок). Отметим, что площадь фигуры, содержащей точку $A$ , — это площадь фигуры под точкой $A$ до нашей прямой. В свою очередь площадь фигуры, содержащей точку $C$ , — это площадь фигуры над точкой $C$ и до нашей прямой. Перейдем к решению задачи.
==========
а) Необходимо найти зависимость площади фигуры, содержащей точку $A$ , от величины $a$ .
Прежде всего, покажем, что следует рассмотреть несколько случаев получаемых при отсечении от квадрата прямой фигур: может получиться как треугольник (смотрите рисунок 2), так и трапеция (смотрите рисунок 3).
Рассмотрим оба случая отдельно.
СЛУЧАЙ 1 (треугольник)
Имеем треугольник $/triangle OAD$ (смотрите рисунок 2). Очевидно, что размеры сторон треугольника меняются вместе с величиной $a$ , а значит от величины $a$ зависит и площадь треугольника. Как же найти эту площадь? Из рисунка 2 видно, что при любом значении $a /geq 1$ (при $a / /textless / 1$ эта фигура уже не треугольник, а трапеция) треугольник остается прямоугольным, поскольку $/angle A = 90^{/circ}$ , отсюда следует, что площадь треугольника можно найти как полупроизведение катетов: $s_{/triangle OAD} = /frac{OA /cdot AD}{2}$ . Необходимо выразить эту площадь через величину $a$ , то есть узнать, как катеты $OA$ и $AD$ зависят от $a$ . Поразмышляем над этим:
При любом значении $a /geq 1$ катет $OA = 4$ (из условия точка $O$ имеет координату $y = 0$ , а точка $A$ координату $y = 4$ , отсюда $OA = 4$ ). $OA$ никак не зависит от величины $a$ . Вы можете в этом убедиться, «покрутив» прямую, заданную функцией $y = ax$ , но не забывайте, что $a / /textgreater / 0$ , а также то, что если мы рассматриваем случай с треугольником, то $a /geq 1$ .
Теперь подумаем, как от величины $a$ зависит катет $AD$ . Это не очень просто, но я постараюсь показать эту зависимость. Посмотрите на рисунок 4. Нас интересует сторона квадрата $AB$ . Координата $y$ этой прямой $=4$ . С другой стороны, эту прямую пересекает другая прямая, заданная функцией $y = ax$ . Раз эти прямые пересекаются, значит их координаты $y$ равны. Я пометил где $x$ , а где $y$ на рисунке. Так совпало, что координата $x$ и есть искомый нами катет. Прямая задается функцией $y = ax$ . Нас интересует тот самый $x$ , что является катетом треугольника. То есть тот $x$ , который получается при $y = 4$ . Запишем это:
$y = ax // 4 = ax // x = /frac{4}{a}$
Мы нашли зависимость катета $AD$ от величины $a$ .
Напомню формулу площади:
$s_{/triangle OAD} = /frac{OA /cdot AD}{2}$
Где $OA = 4$ , $AD =/frac{4}{a}$ . Найдем теперь зависимость площади треугольника от $a$ :
$s_{/triangle OAD} = /frac{OA /cdot AD}{2} = /frac{4 /cdot /frac{4}{a}}{2} = /frac{8}{a}$
Отлично, зависимость найдена. Но это только при $a /geq 1$ . А что будет в случае, если $0 / /textless / a / /textless / 1$ ? Подумаем.
СЛУЧАЙ 2 (трапеция)
Как мы уже отметили, при $0 / /textless / a / /textless / 1$ точкой $A$ ограничена трапеция $OABE$ (смотрите рисунок 3). Как найти площадь трапеции? Площадь трапеции — произведение полусуммы оснований на высоту. В нашем случае имеем:
$s_{OABE} = /frac{OA + BE}{2} /cdot AB$
Сразу отметим какие стороны трапеции зависят от $a, (0/ /textless / a / /textless / 1)$ . Основание $OA$ и высота $AB$ от $a$ не зависят. Зависит только меньшее основание $BE$ . Найдем эту зависимость (она куда проще, чем в случае с треугольником). Смотрите рисунок 5. Как видно из рисунка, $OA = 4$ , $AB = 4$ . Подумаем, какова зависимость малого основания трапеции $BE$ от величины $a$ . Видим, что $BC = BE + EC = 4$
Отсюда: $BE = BC - EC = 4 - EC$
Остается найти $EC$ . Тут начинается та же история с пересечением двух прямых. Причем $EC = y$ , а на этот раз $x=4$ . Получаем:
$y = ax // y = 4a // y = EC // EC = 4a$
Вспоминаем где нам нужно было $EC$ $BE = 4 - EC = 4 - 4a$ .
Теперь же найдем площадь трапеции:
$s_{OABE} = /frac{OA + BE}{2} /cdot AB = /frac{4 + 4 - 4a}{2} /cdot 4 = /frac{4(2 - a)}{2} /cdot 4 = 16 - 8a$
======
Итак, мы решили только первую часть задания. Что же выходит? Площадь фигуры, содержащей вершину $A$ , зависит от величины $a$ , причем по-разному (два случая). Запишем это в виде системы:
$S_{A} = /left /{ {{/frac{8}{a}, (a /geq 1)} /atop {16 - 8a, (0 / /textless / a / /textless / 1)}} /right.$