Пусть для любых значений аргумента, отличных от нуля, функция
$y=f(x)$ удовлетворяет условию $f(x)+2f/left( /frac{4}{x}/right) =x- /frac{5}{x}$ . Найдите:
а) f( 2 ) б) f(- 2 ); в) f( 1 ); г) f(x).

Если дано $f(a)$ , то просто заменяем везде $x$ на $a$ :
а)
$f(2): // f(2) + 2f(/frac{4}{2}) = 2 - /frac{5}{2} // f(2) + 2f(2) = -/frac{1}{2} // 3f(2) = -/frac{1}{2} // f(2) = -/frac{1}{2} /cdot /frac{1}{3} // f(2) = -/frac{1}{6}$
б)
$f(-2): // f(-2) + 2f(/frac{4}{-2}) = -2 - /frac{5}{-2} // f(-2) +2f(-2) = -2 + /frac{5}{2} // 3f(-2) = /frac{1}{2} // f(-2) = /frac{1}{6}$
в) $f(1): // f(1)+2f(/frac{4}{1}) = 1 - /frac{5}{1} // f(1) + 2f(4) = -4 // f(1) = -4 - 2f(4)$
Как видим, в определении $f(1)$ есть $f(4)$ . Найдем $f(4)$ :
$f(4): // f(4) + 2f(/frac{4}{4}) = 4 - /frac{5}{4} // f(4) + 2f(1) = /frac{11}{4} // f(4) = /frac{11}{4} - 2f(1)$
Как мы узнали ранее, $f(1) = -4 - 2f(4)$ . Подставим это значение:
$f(4) = /frac{11}{4} - 2f(1) // f(4) = /frac{11}{4} - 2(-4 - 2f(4)) // f(4) = /frac{11}{4} +8+4f(4) // f(4) - 4f(4) = /frac{11}{4} + 8 // -3f(4) = /frac{43}{4} // f(4) = /frac{43}{12}$
Итак, $f(4)$ нашли, теперь подставим это сюда:
$f(1) = -4 - 2f(4) // f(1) = -4 -2 /cdot /frac{43}{12} // f(1) = -4 - /frac{43}{6} // f(1) = /frac{-24-43}{6} // f(1) = /frac{67}{6}$
г)
$f(x) + 2f(/frac{4}{x}) = x - /frac{5}{x}$
Отсюда:
$f(x) = x - /frac{5}{x} -2f(/frac{4}{x})$
Или:
$f(x) = /frac{x^2 - (2f(/frac{4}{x}))x -5}{x}$
Как видим, функция $f(x)$ задана рекуррентно, то есть в определии $f(x)$ содержится эта же функция $f(/frac{4}{x})$ .