Cosx(2cosx + tgx)=1
(2sin^2x-sin2x-2cos2x)/под корнем 1-x^2=0
помогите. 20 б

$/cos x(2/cos x+tg x)=1$
ОДЗ $/cos x/ne 0$ отсюда $x /ne /frac{/pi}{2}+ /pi n,n /in Z$

Раскроем скобки

$2/cos^2x+/sin x=1// // 2(1-/sin^2x)-(1-/sin x)=0// // 2(1-/sin x)(1+/sin x)-(1-/sin x)=0// // (1-/sin x)(2+2/sin x-1)=0// // (1-/sin x)(2/sin x+1)=0// // /left[/begin{array}{ccc}1-/sin x=0// 2/sin x+1=0/end{array}/right/Rightarrow /left[/begin{array}{ccc}/sin x=1// /sin x=-0.5/end{array}/right/Rightarrow /left[/begin{array}{ccc}x_1=/frac{/pi}{2}+2 /pi k,k /in Z// x_2=(-1)^{n+1}/frac{/pi}{6}+ /pi n,n /in Z/end{array}/right$

Первый корень не удовлетворяет ОДЗ

Ответ: x=(-1)ⁿ⁺¹ ·п/6 + пn, где n - целые числа

$/dfrac{2/sin^2x-/sin2x-2/cos2x}{/sqrt{1-x^2}}=0$

ОДЗ: $/displaystyle /left /{ {{1-x^2 /geq 0} /atop {1-x^2/ne 0}} /right. /Rightarrow/,/,/, 1-x^2/ /textgreater / 0/,/,/, /Rightarrow/,/,/, |x|/ /textless / 1/,/,/,/, /Rightarrow/,/,/,/, /boxed{-1/ /textless / x/ /textless / 1}$
Дробь обращается в ноль, тогда и только тогда, когда числитель равен нулю
$2/sin^2x-/sin2x-2/cos2x=0$
$2/sin^2x-2/sin x/cos x-2(/cos^2x-/sin^2 x)=0// 2/sin^2x-2/sin x/cos x-2/cos^2x+2/sin^2x=0// 4/sin^2x-2/sin x/cos x-2/cos^2x=0|:(/cos^2x/ne0)// 4tg^2x-2tgx-2=0|:2// 2tg^2x-tgx-1=0$
Пусть tg x = t, тогда имеем квадратное уравнение вида:
$2t^2-t-1=0// D=b^2-4ac=(-1)^2-4/cdot2/cdot(-1)=1+8=9// /sqrt{D}=3// t_1= /frac{-b+ /sqrt{D} }{2a}= /frac{1+3}{2/cdot2} =1 ;// t_2= /frac{-b- /sqrt{D} }{2a}= /frac{1-3}{2/cdot2}=-0.5$

Обратная замена

$/left[/begin{array}{ccc}tgx=1// tgx=-0.5/end{array}/right/Rightarrow /left[/begin{array}{ccc}x_1= /frac{/pi}{4}+ /pi n,n /in Z// x_2=-arctg0.5+ /pi n,n /in Z /end{array}/right$

Отберем корни из ОДЗ:

Для корня $x= /frac{/pi}{4}+ /pi n,n /in Z$
Если $n=0$ , то $x= /frac{/pi}{4}/in (-1;1)$

Для корня $x=-arctg0.5+ /pi n,n /in Z$
Если $n=0$ , то $x=-arctg0.5/in (-1;1)$

Ответ: x = п/4, x = -arctg 0.5