Исследуйте функцию и постройте ее график:
f(x)=x^5+20x^2+3
на промежутке [-1;1]

Алгоритм такой:

1) Найдём производную:
$f(x)=x^5+20x^2+3//f(x)=5x^4+40x$

2. Найдём экстремумы:
$5x^4+40x=0//x(5x^3+40)=0////x_1=0//5x^3=-40//x^3=-8//x_2=-2.$
Заданной области принадлежит точка $x=0$ .

3. Найдём область убываения и возрастания относительно нуля: с помощью метода интервалов установим, функция убывает на промежутке $[-1;0]$ и растёт — на промежутке $[0;1]$

4. Найдём вторую производную и исследуем функцию на выпуклость:
$f(x)=(5x^4+40x)=20x^3+40.////20x^3+40=0//x^3+2=0//x^3=-2//x= /sqrt[3]{-2}$
Нам повезло — экстремум второй производной лежит вне нашей области. Методом интервалов установим, что функция на области $[-1;1]$ является вогнутой.

5. Теперь можно строить график. Найдём значение функции в точках −1 и 1: $(-1; 22)$ и $(1; 24)$

6. Суммируя все предыдущие пункты, наносим такие точки:
$(-1; 22)//(1; 24)//(0; 3)//$
И теперь соединяем их так, чтобы функция убывала на [-1; 0] и росла— на [0; 1]. И не забываем, что функция везде должна быть вогнута.

Если правильно построишь, должно получиться так: