Решите систему неравенств. объясните пожалуйста как понЯть одз и что делать с модулем?

Мало баллов :(

Попробую начать с ОДЗ. Заметим, что в первом неравенстве знаменатель не должен быть равен 0. То есть $2x-1neq 0$

$xneq 0,5$

$xin(-infty;0,5)cup(0,5;infty)$ - это и есть ОДЗ.

Попробую решить сначала первое неравенство.

$frac{2*x^2-2x+1}{2x-1}leqslant 1$

$frac{2*x^2-2x+1}{2x-1}leqslant frac{2x-1}{2x-1}$

$frac{2*x^2-2x+1}{2x-1}-frac{2x-1}{2x-1}leqslant 0$

$frac{2*x^2-2x+1-(2x-1)}{2x-1}leqslant 0$

$frac{2*x^2-2x+1-2x+1}{2x-1}leqslant 0$

$frac{2*x^2-4x+2}{2x-1}leqslant 0$

$frac{2*(x^2-2x+1)}{2x-1}leqslant 0$

Сократим обе части на 2.

$frac{x^2-2x+1}{2x-1}leqslant 0$

$frac{(x-1)^2}{2x-1}leqslant 0$

Заметим, что числитель при любых х будет неотрицательным. Только при х=1. Дробь обращается в 0 и удовлетворяет неравенству.

Значит все остальное зависит от знаменателя. Нам нужно решить довольно простое неравенство 2х-1<0. Равенство невозможно, так как противоречит ОДЗ. х<0,5.

Значит решением этого неравенства будет

$xin(-infty; 0,5)cup {1}$

Теперь попытаемся решить второе неравенство, учитывая первое.

$25x^2-3*|3-5x|<30x-9$

$25x^2-30x+9-3*|3-5x|<0$

$25x^2-30x+9<3*|3-5x|$

Выделим полный квадрат в левой части

$(3-5x)^2<3*|3-5x|$

Обозначим через t=|3-5x|. Тогда t - неотрицательно. Перепишем неравенство

$t^2<3t$

$t*(t-3)<0$

Так как t - неотрицательно, то все зависит от второго множителя.

t-3<0

|3-5x|-3<0 (*)

Рассмотрим 2 случая

$1) quad 3-5xgeqslant 0$

$3geqslant 5x$

$frac{3}{5}geqslant x$

$0,6geqslant x$

$xleqslant 0,6quad(**)$

Тогда модуль раскрывается в неравенстве (*)

(3-5х)-3<0

3-5x-3<0

-5х<0

x>0

Учитывая (**) решением этого случая будет $xin(0;0,6]$

$2)quad 3-5x<0$

$3<5x$

$frac{3}{5}<x$

$0,6<x$

$xin(0,6;infty)quad (***)$

Тогда модуль раскрывается в виде

-(3-5х)-3<0

-3+5x-3<0

-6+5x<0

5x<6

x<1,2

Учитывая, условие (***) $xin(0,6;1,2)$

Во втором неравенстве объединяется оба случая. Так как это решения в двух различных случаях. Объединением $xin(0;0,6]cup(0,6;1,2)$ будет $xin(0;1,2).$

Решением систему неравенств будет пересечение решений первого и второго неравенств.

То есть

По правилам пересечений и объединения множеств

$left((-infty;0,5)cup{1}right)cap(0;1,2)=$

$((-infty;0,5)cap(0;1,2))cup({1}cap(0;1,2))=$

$=(0;0,5)cup{1}$

Ответ: $(0;0,5)cup{1}$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы

Предметы

Показать ещё