Для каждого значения параметра а решите неравенство:
$x^2+2x+a>0$

Перепишем неравенство в виде
$x^2+2x+1>1-a (x+1)^2>1-a$
Если $1-a<0 a>1$ , то решение неравенства - все действительные числа (справа стоит неотрицательное число, а слева строго отрицательное).
Если $a=1$ , решение - все числа кроме -1.
Если $1-a>0 a<1$ , можно неравенство переписать в виде (расписываем разность квадратов)
$(x+1-sqrt{1-a})(x+1+sqrt{1-a})>0$
Решить это неравенство несложно с помощью метода интервалов, ответ $xin(-infty,-1-sqrt{1-a})cup(-1+sqrt{1-a}, +infty)$

Разумеется, исследование можно провести и с помощью дискриминанта.