Найдите наибольшее и наименьшее натуральное значения n при которых уравнение:
имеет натуральные решения.
Объясните на уровне 9 класса, как решать такие задания.
При любом n пара x = 1, y = 1 не является решением.
Поэтому (xy)^n =(x^2+y^2)^2010 (2xy)^2010 (xy)^2010`. Значит, n > 2010.
Предположим,что `x ne y`. Тогда найдется простое число p, такое что `x = p^k a`, `y= p^m b`, и числа a и b не делятся на p. Для определенности можносчитать, что `k gt m ge 0`.
Тогда `(p^(2k) a^2 + p^(2m) b^2)^2010 = (p^(k+m)ab)^n`; `(p^(2(k-m)) a^2 + b^2)^2010 = a^nb^np^(n(k+m)-2m*2010)` (1)
Из условий n > 2010 и k > m получаем: n(k+m) - 2m*2010 = (nk-2010m) + m(n-2010) > 0 .
Значит, правая часть равенства (1) - целое число, которое делится на p. Левая часть на p не делится. Противоречие.
Пустьтеперь x = y , тогда из равенства `(x^2+y^2)^2010 = (x^2)^n` получаем:`x^(n-2010) = 2^1005`. Откуда `x = 2^q = 0,1,2,...` и q(n - 2010) = 1005.
Поэтому n - 2010 натуральный делитель числа 1005. По условию насинтересуют только наименьшее и наибольшее возможное значение n. Поэтомунужно взять n - 2010 = 1 и n - 2010 = 1005, откуда n = 2011 и n = 3015,При n = 2011 x = y = 2^1005, при n = 3015 x = y = 2.
Ответ: 2011, 3015
Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!
