Исслeдyйтe фyhкции no 5 пyнктaм
а) $y= sqrt{ x^{2} +a} , a>0$
б) $y= sqrt{ x^{2} - a} , a>0$
1) Область определения, непрерывность, четность/нечётность, периодичность функции.
2) Асимптоты графика функции.
3) Нули функции, интервалы знакопостоянства.
4) Возрастание, убывание и экстремумы функции.
5) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика.

$y= sqrt{x^2+a} , a>0$
1)
Область определения функции - все действительные числа, так как при а>0 под корнем находится положительное число, следовательно из него можно извлечь квадратный корень. График функции непрерывен на всей области определения. Так как для функции выполняется соотношения f(-x)=f(x), то она является четной функцией. Функция не имеет периода.
2)
$k_1= lim_{x to infty} frac{y}{x} = lim_{x to infty} frac{ sqrt{x^2+a} }{ sqrt{x^2} } =lim_{x to infty} sqrt{1+ frac{a}{x^2} } =1 b_1=lim_{x to infty} (y-k_1x)=lim_{x to infty} ( sqrt{x^2+a} -x)= =lim_{x to infty} frac{( sqrt{x^2+a} -x)( sqrt{x^2+a} +x)}{ sqrt{x^2+a} +x} = lim_{x to infty} frac{a}{ sqrt{x^2+a} +x} =0$
Значит, асимптотой является прямая y=x, а также симметричная ей прямая относительно оси ординат y=-x, так как функция четная
3)
$sqrt{x^2+a} =0 x^2+a =0$
При а>0 это уравнение не имеет решений, значит нулей у функции нет. Так как квадратный корень принимает только неотрицательные значения, то функция на всей области определения положительна.
4)
$y=( sqrt{x^2+a} )= frac{1}{2 sqrt{x^2+a}} cdot 2x =frac{x}{ sqrt{x^2+a}}$
Производная равна нулю только в точке х=0 - это точка минимума, так как производная меняет свой знак с "-" на "+". Следовательно, при х<0, то есть при отрицательной производной, функция убывает, при х>0 - возрастает, так как производная больше нуля. Минимум функции находим как значение самой функции в точке минимума:
$y_{min}=y(x_{min})=y(0)= sqrt{0^2+a} =sqrt{a}$
5)
$y=( sqrt{x^2+a} )=(frac{x}{ sqrt{x^2+a}} )=frac{xsqrt{x^2+a}-x(sqrt{x^2+a})}{x^2+a} = =frac{sqrt{x^2+a}- frac{x^2}{ sqrt{x^2+a}} }{x^2+a} = frac{x^2+a-x^2} {(x^2+a)sqrt{x^2+a}} =frac{a} {(x^2+a)sqrt{x^2+a}}$
Вторая производная при любых а>0 и х положительна, значит функция на всей области определения вогнута и у нее нет точек перегиба.

$y= sqrt{x^2-a} , a>0$
1)
$x^2-a geq 0 (x- sqrt{a} )(x+ sqrt{a} ) geq 0 xin(-infty; sqrt{a} ]cup[sqrt{a};+infty)$
Функция не является непрерывной, так как она не она не определена при $xin(- sqrt{a}; sqrt{a} )$ . Так как для функции выполняется соотношения f(-x)=f(x), то она является четной функцией. Функция не имеет периода.
2)
$k_1= lim_{x to infty} frac{y}{x} = lim_{x to infty} frac{ sqrt{x^2-a} }{ sqrt{x^2} } =lim_{x to infty} sqrt{1- frac{a}{x^2} } =1 b_1=lim_{x to infty} (y-k_1x)=lim_{x to infty} ( sqrt{x^2-a} -x)= =lim_{x to infty} frac{( sqrt{x^2-a} -x)( sqrt{x^2-a} +x)}{ sqrt{x^2-a} +x} = lim_{x to infty} frac{-a}{ sqrt{x^2-a} +x} =0$
Значит, асимптотой является прямая y=x, а также симметричная ей прямая относительно оси ординат y=-x, так как функция четная
3)
Нули функции:
$sqrt{x^2-a} =0 x^2-a =0 x^2=a x=pm a$
Так как квадратный корень принимает только неотрицательные значения, то функция в остальных точках области определения, то есть при $xin(-infty; sqrt{a} )cup(sqrt{a};+infty)$ положительна.
4)
$y=( sqrt{x^2-a} )= frac{1}{2 sqrt{x^2-a}} cdot 2x =frac{x}{ sqrt{x^2-a}}$
Производная равна нулю только в точке х=0, однако эта точка попадает в область определения функции только при а=0. В общем случае, при $x< sqrt{a}$ , то есть при отрицательной производной, функция убывает, при $x> sqrt{a}$ - возрастает, так как производная больше нуля. Точки минимума совпадают с нулями функции и соответственно сами минимумы равны нулю.
5)
$y=( sqrt{x^2-a} )=(frac{x}{ sqrt{x^2-a}} )=frac{xsqrt{x^2-a}-x(sqrt{x^2-a})}{x^2-a} = =frac{sqrt{x^2-a}- frac{x^2}{ sqrt{x^2-a}} }{x^2-a} = frac{x^2-a-x^2} {(x^2-a)sqrt{x^2-a}} =frac{-a} {(x^2-a)sqrt{x^2-a}}$
Вторая производная при любых а>0 и х отрицательна, значит функция на всей области определения выпукла (в знаменателе стоит выражение, которое в соответствии с областью определения не может быть отрицательным числом), точек перегиба у функции нет.