Решите, пожалуйста, систему уравнений
$left { {{ x^{2} +xy+ y^{2}=37 } atop {x+xy+y=19}} right.$

$left { {{x^2+xy+y^2=37} atop {x+xy+y=19}} right.$
Произведем замену переменных
Пусть x+y=u, xy=v, тогда имеем:

$left { {{u^2-v=37} atop {v+u=19}} right.$

Из уравнения 2 выразим переменную u

$left { {{u^2-v=37} atop {u=19-v}} right.$

Подставим вместо переменной u найденное выражение

$(19-v)^2-v=37 v^2-39v+324=0$
По т. Виета
$left { {{v_1+v_2=39} atop {v_1cdot v_2=324}} right. to left { {{v_1=12} atop {v_2=27}} right.$

Если v=12, то u=7
Если v=27, то u=-8

Вовзращаемся к замене

$left { {{xy=12} atop {x+y=7}} right. ,,,,,,,,,,,,,,,,, left { {{xy=27} atop {x+y=-8}} right. left { {{x_1=4,,y_1=3} atop {x_2=3,,y_2=4}} right. ,,,,,,,,,, O$

Ответ: $(4;3),,(3;4).$