Tg2x+tgx=0
полтинник аж, не проходим мимо)

$tg2x+tgx=0,frac{2tgx}{1-tg^2x}+tgx=0,frac{2tgx+tgx-tg^3x}{1-tg^2x}=0,frac{3tgx-tg^3x}{1-tg^2x}=0,frac{tgx(3-tg^2x)}{1-tg^2x}=0,$

Область допускаемых значений: $1-tg^2xne0, tg^2xne1, 1) tgxne-1, xnefrac{3pi}{4}+pi n, nin Z,2) tgxne1, xnefrac{pi}{4}+pi n, nin Z.$

Приравняем числитель к 0: $tgx(3-tg^2x)=0,1) tgx=0, x=0+pi n, nin Z;3-tg^2x=0, tg^2x=3, tgx=pmsqrt{3},2) tgx=sqrt{3}, x=frac{pi}{3}+pi n, nin Z;3) tgx=-sqrt{3}, x=frac{2pi}{3}+pi n, nin Z.$

Ответ: $x=pi n, frac{pi}{3}+pi n, frac{2pi}{3}+pi n, n in Z.$