Решите уравнение: $frac{2x-5}{x}- frac{x}{2x-5}=0$ способом замены переменной.И найти целый корень.

$frac{2x-5}{x}-frac{x}{2x-5}=0$
Область допускаемых значений (ОДЗ) для x: $xne02x-5ne0, xnefrac{5}{2}=2frac{1}{2}. (*)$

Пусть $2x-5=t, x=frac{t+5}{2}$ тогда:

$frac{t}{frac{t+5}{2}}-frac{frac{t+5}{2}}{t}=0,frac{2t}{t+5}-frac{t+5}{2t}=0,frac{2t}{t+5}=frac{t+5}{2t}$

ОДЗ для t: $tne0,t-5ne0, tne5. (**)$

$2tbullet2t=(t+5)(t+5),4t^2=t^2+10t+25,3t^2-10t-25=0D=100-4bullet(-25)bullet3=400,t_1=frac{10+sqrt{400}}{6}=5, t_2=frac{10-sqrt{400}}{6}=-frac{5}{3}=-1frac{2}{3}.$

$t_1$ не удовлетворяет ОДЗ для $t (**)$ ,

$x=frac{-frac{5}{3}+5}{2}=frac{10}{6}=frac{5}{3}=1frac{2}{3}$ удоволетворяет ОДЗ для $x (*)$

Ответ: $x=1frac{2}{3}.$