Решите , пожалуйста, но не только ответ , но и подробное объяснение вместе с графиком . И оформлять решение в редакторе формул .
===================================================

Начнем с того, что нам надо найти ординаты вершин двух парабол. В общем виде вершина параболы $y=ax^2+bx+c$ находится по формулам: $x_B=- frac{b}{2a}$ и $y_B=y(x_B)$ . После того как мы отыщем ординаты вершин, мы потребуем чтобы либо они обе были положительны, либо обе отрицательны.

$y=-x^2+4mx-m x_B=- frac{4m}{-2} =2m y_B=y(2m)=-(2m)^2+4mcdot2m-m= =-4m^2+8m^2-m=4m^2-m$

$y=x^2+2mx-2 x_B=- frac{2m}{2} =-m y_B=y(-m)=(-m)^2+2mcdot(-m)-2= =m^2-2m^2-2=-m^2-2$

Начинаем решать две системы, в итоговый ответ попадет объединение решений этих систем:
1)
$left { {{4m^2-m>0} atop {-m^2-2>0}} right. left { {{m(4m-1 )>0} atop {m^2+2<0}} right.$
Система решений не имеет, так как левая часть второго неравенства положительная при любых m
2)
$left { {{4m^2-m<0} atop {-m^2-2<0}} right. left { {{m(4m-1 )<0} atop {m^2+2>0}} right. left { {{m(m- frac{1}{4} )<0} atop {m^2>-2}} right. left { {{min(0; frac{1}{4})} atop {min R}} right. min(0; frac{1}{4})$
Так как предыдущая система не имела решений, то решение этой системы и и будет итоговым ответом
Схематичный график на картинке - верхняя: две вершины выше оси абсцисс; нижняя - вершины ниже оси х.
Ответ: (0; 0,25)