Найдите корни уравнения на заданном промежутке: cos^2(3x+pi/4)-sin^2(3x+pi/4)+sqrt3/2=0 x Э [3П/4;П]

Здесь применима формула двойного угла для косинуса.

$cos^2alpha-sin^2alpha=cos(2*alpha)$

Если обозначить выражение в скобках через t, то есть $t=3x+frac{pi}{4}$ , то уравнение переписывается следующиим образом

$cos^2(t)-sin^2(t)+frac{sqrt{3}}{2}=0$ .

$cos(2t)=-frac{sqrt{3}}{2}$ . Если подставить значение t, то получим

$cosleft(6x+frac{pi}{2} right)=-frac{sqrt{3}}{2}$

Воспользуемся формулой косинуса суммы углов

$cos(6x)cos(frac{pi}{2})-sin(6x)sin(frac{pi}{2})=-frac{sqrt{3}}{2}$

$-sin(6x)=-frac{sqrt{3}}{2}$

$sin(6x)=frac{sqrt{3}}{2}$

$6x=(-1)^k*frac{pi}{3}+pi*k, quad kin Z$

$x=(-1)^k*frac{pi}{18}+frac{pi}{6}*k, quad kin Z$

Заметим, что при k=6, корень уже не попадает в заданный промежуток $[frac{3pi}{4}; pi]$ ,

$k=5 qquad -frac{pi}{18}+frac{5pi}{6}=-frac{pi}{18}+frac{15pi}{6}=frac{14pi}{18}=frac{7pi}{9}$

Докажем, что $frac{7pi}{9}in [frac{3pi}{4};pi]$

$frac{7pi}{9}=frac{28pi}{36};quad frac{3pi}{4}=frac{27pi}{36}$

$frac{28pi}{36}in (frac{27pi}{36};pi)$

$k=4 qquad frac{pi}{18}+frac{4pi}{6}=frac{13pi}{18}$ Этот корень уже не попадает в промежуток, потому что

$frac{13pi}{18}=frac{26pi}{36}$

$frac{26pi}{36}<frac{27pi}{36}=frac{3pi}{4}$

То есть всего лишь один корень попадает в этот промежуток

Ответ: при k=5 $x=frac{7pi}{9}$

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы

Предметы

Показать ещё

×