Найдите все целые и положительные числа x и y удовлетворяющие уравнению y^3=x^3+9x^2+17

Воспользуемся тем что $y^3$ куб числа по модулю $3$ (остатки от деления) сравнимы с $0;1;2$ соответственно когда $y=3n y neq 3n y=3n+5$ , где $n in N$ .
По тому же принципу справа   $x^3+9x^2+17$    $x^3$ так же как
$y$ , $9x^2$ дает остаток $0$ , число $17equiv 2 mod (3)$ , то есть остаток числа $9x^2+17$ равен $2$ при делений на $3$ . $y^3=x^3+(9x^2+17)$
рассмотрим случаи , когда $y=3n$ слева остаток всегда равен $0$ , но справа уже не может поэтому $y neq 3n$
рассмотрим случаи когда   $y neq 3n$ , слева остаток при делений на $3$ как ранее был сказан равен $1$ , но тогда справа должно быть число дающее $4$ , а оно дает при делений на $3$ остаток $1$ отсюда $x neq 3z$ подходит
$y=3$
$x=1$
Далее можно проделать такую же операцию с $y=3n+5$ , но оно так же не действительно , то есть решение $x=1;y=3$