Найти точку экстремума заданной функции и определить их характер
1) f(x) = x + (4 / x).
Для построения графика нужен расчет точек графика:
х -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
у=х+(4/х)-5 -4.333 -4 -5 ###### 5 4 4.3333 5
Область определения функции.Точки, в которых функция точно неопределена:x1 = 0. Точки пересечения с осью координат X. График функции пересекает ось X при f = 0, значит надо решить уравнение: 4x + - = 0x Решения не найдено, график не пересекает ось X. Точки пересечения с осью координат Y. График пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в x + 4/x.4-0. Результат:f(0) = zooзн. f(x) не пересекает .
Экстремумы функции. Для того, чтобы найти экстремумы,нужно решить уравнениеd--(f(x)) = 0dx (производная равна нулю),и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:d--(f(x)) =dx 41 - -- = 02x Решаем это уравнение. Корни этого ур-ния x1 = -2, x2 = 2Значит, экстремумы в точках:(-2, -4)(2, 4)
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:x2 = 2Максимумы функции в точках:x2 = -2Убывает на промежутках(-oo, -2] U [2, oo)Возрастает на промежутках[-2, 2] Точки перегибов Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2d---(f(x)) = 02dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2d---(f(x)) =2dx 8-- = 03x Решаем это уравнение Решения не найдены, перегибов у функции нет Вертикальные асимптоты Есть:x1 = 0 Горизонтальные асимптоты Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo 4lim x + - = -oox->-oo x значит,горизонтальной асимптоты слева не существует 4lim x + - = oox->oo x значит,горизонтальной асимптоты справа не существует Наклонные асимптоты Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + 4/x, делённой на x при x->+oo и x->-oo 4x + -xlim ----- = 1x->-oo x значит,уравнение наклонной асимптоты слева:y = x, 4x + -xlim ----- = 1x->oo x значит,уравнение наклонной асимптоты справа:y = x. Чётность и нечётность функции Проверим функцию чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем: 4 4x + -- = -x - --1 1x x - Нет 4 -4x + -- = --x - ---1 1x x - Да, значит, функция является нечётной.
2) Эта функция исследуется аналогично.
Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!
