Решить уравнение $[tg x]* sqrt{3-tg^2x} =tgx$
P.S. - [] - не модуль. Тема: целые числа части

$[tg x]cdot sqrt{3-tg^2x} =tg x$

Область допустимих значений уравнения определяем по условию:
$- sqrt{3} leq tg x leq sqrt{3}$ . Поэтому [tg x] может имееть значение только при -1; 0; 1. Итак, имеем 4 систем уравнений
$left { {{[tgx]=-2} atop { sqrt{3-tg^2x}=- frac{1}{2}tg x, }} right.$ или $left { {{sqrt{3-tg^2x}=-tg x} atop {[tgx]=-1}} right.$ или $left { {{[tg x]=0} atop {tg x=0}} right.$
или $left { {{[tg x]=1} atop {sqrt{3-tg^2x}=tg x}} right.$
Упростим и получим такие уравнения
$left { {{-sqrt{3} leq tg x< -1} atop {tg x=- sqrt{ frac{12}{5} } }} right.$ или $left { {{-1 leq tg x< 0} atop {tg x=-sqrt{ frac{3}{2} } }} right.$ или $tg x=0$
или $left { {{1 leq tg x<sqrt{3}} atop {tg x=sqrt{ frac{3}{2} } }} right.$
Подробное решение каждой системы:
$left { {{-sqrt{3} leq tg x<1} atop {sqrt{3-tg^2x}= -frac{1}{2}tgx }} right.$
Возведем оба части до квадрата
$sqrt{3-tg^2x} =( frac{1}{2} tg x)^2 3-tg^2x= frac{1}{4} tg^2x|cdot 4 12-4tg^2x=tg^2x tg^2x= frac{12}{5} tg x=pm sqrt{frac{12}{5} }$
Корнем этого уравнени будет только $-sqrt{frac{12}{5} }$ , а корень $x=sqrt{frac{12}{5} }$ не пренадлежит промежутку [-√3;-1)

$left { {{-1 leq tg x<0} atop { sqrt{3-tg^2x} =-tg x}} right.$
Возведем оба части до квадрата
$3-tg^2x=tg^2x tg x=pm sqrt{ frac{3}{2} }$
$pmsqrt{frac{3}{2}}$ ∉ [-1;0)

$tg x=0 x=pi n,n in Z$

$left { {{1 leq tg x<sqrt{3}} atop { sqrt{3-tg^2x} =tg x}} right.$
Возведем оба части до квадрата
$(sqrt{3-tg^2x})^2=tg^2x 3-tg^2x=tg^2x tg x=pmsqrt{frac{3}{2}}$
решением этого уравнения будет корень $x =sqrt{frac{3}{2}}$
Корни уравнения
$x_1=-arctgsqrt{ frac{12}{5} } +pi n.n in Z x_2=pi k, k in Z x_3=arctgsqrt{ frac{3}{2} } +pi m.m in Z$