Решите уравнение:
-5sin 2x - 16(sinx-cosx) + 8 = 0

$-5sin2x-16(sin x-cos x)+8=0$

$-5cdot 2sin xcos x-16(sin x-cos x)+8(sin^2x+cos^2x)=0 -10sin xcos x-16(sin x-cos x)+8sin ^2x+8cos^2x=0 6sin xcos x-16(sin x-cos x)+8sin^2x-16sin xcos x+8cos^2x=0 6sin xcos x-16(sin x-cos x)+8(sin^2x-2sin xcos x+cos^2x)=0 6sin xcos x-16(sin x-cos x)+8(sin x-cos x)^2$
Пусть $sin x-cos x=t$ (|t|≤√2). Левую и праву часть выражения возведем до квадрата: $(sin x-cos x)^2=t^2 sin^2x-2sin xcos x+cos^2x=t^2 1-2sin xcos x=t^2 2sin xcos x=1-t^2$
Заменяем
$3(1-t^2)-16t+8t^2=0 3-3t^2-16t+8t^2=0 5t^2-16t+3=0$
Решаем через дискриминант
$D=b^2-4ac=256-60=196$
$t_1= frac{16+14}{10} =3$ - не удовлетворяет условие при |t|≤√2
$t_2= frac{16-14}{10} = frac{1}{5}$
Возвращаемся к замене
$sin x-cos x=frac{1}{5}$

Есть одно возможность:
$a sin xpm bcos x= sqrt{a^2+b^2}sin (xpm arcsin frac{b}{ sqrt{a^2+b^2} } )$
Тоесть: $sin x-cos x= sqrt{2} sin (x- frac{pi}{4} ) =frac{1}{5} sin (x- frac{pi}{4} )= frac{ sqrt{2} }{5} x- frac{pi}{4} =(-1)^kcdot arcsin frac{ sqrt{2} }{5} + pi k,k in Z x=(-1)^kcdot arcsin frac{ sqrt{2} }{5}+ frac{pi}{4} + pi k,k in Z$

Ответ: $(-1)^kcdot arcsin frac{ sqrt{2} }{5}+ frac{pi}{4} + pi k$