Найти определённый интеграл:
$intlimits^frac{pi}{4}_0frac{dx}{cos^4x+sin^4x}$

Cначала читайте 1 часть, потом 2-ую. У меня не вставляется текст в конец 1 части.

$2); Q=int_0^1(frac{frac{1}{2}}{t^2-sqrt2t+1}+frac{frac{1}{2}}{t^2+sqrt2t+1})dt=frac{1}{2}int _0^1(frac{1}{(t-frac{sqrt2}{2})^2+frac{1}{2}}+frac{1}{(t+frac{sqrt2}{2})^2+1})dt==frac{1}{2}(sqrt2arctgfrac{t-frac{sqrt2}{2}}{frac{1}{sqrt2}}+sqrt2arctg(sqrt2t+1))|_0^1==frac{sqrt2}{2}(arctg(sqrt2-1)+arctg(sqrt2+1))$

$1)int _0^{frac{pi}{4}}frac{dx}{cos^4x+sin^4x}=int _0^{frac{pi}{4}}frac{frac{1}{cos^2x}cdot frac{dx}{cos^2x}}{1+tg^4x}=int _0^{frac{pi}{4}}frac{(1+tg^2x)d(tgx)}{1+tg^4x}==[, t=tgx,; t_1=tg0=0,; t_2=tgfrac{pi}{4}=1, ]=int _0^1frac{t^2+1}{t^4+1}dt=int_0^1frac{t^2+1}{(t^2+1)^2-2t^2}==int_0^1frac{(t^2+1)dt}{(t^2+1-sqrt2t)(t^2+1+sqrt2t)}=Qfrac{t^2+1}{(t^2-sqrt2t+1)(t^2+sqrt2t+1)}=frac{At+B}{t^2-sqrt2t+1}+frac{Ct+D}{t^2+sqrt2t+1}$

$t^2+1=(At+B)(t^2+sqrt2t+1)+(Ct+D)(t^2-sqrt2t+1)$

t³ | 0=A+C                            A=-C
t² |  1=A√2+B-C√2+D            1=B+D-2√2C         1=1-2√2C    C=0, A=0
t   | 0=A+B√2+C-D√2            √2(B-D)=0              B=D
t^0| 1=B+D                             2B=1                     B=1/2=D

Оцени ответ

Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!

Найти другие ответы